lineare Funktion

14.12.2005, 12:07

Biene80

lineare Funktion

Hallo, ich muß den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks in einem Koordinatensystem berechnen. Ich habe die Schnittpunkte sowie die Funktionsgleichungen. Wie berechne ich jetzt die einzelnen Geraden und mit welcher Formel?
Danke

14.12.2005, 12:09

brunsi

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RE: lineare Funktion
du hast die schnittpunkte der geraden gegeben, so dass sich ein dreieck bildet?

edit: welche schnittpunkte hast du gegeben? welche funktionsgleichungen hats du?

poste doch mald ie komplette aufgabe hier rein.

14.12.2005, 12:38

Biene80

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RE: lineare Funktion
f1: y=-3/2x+15
f2: y=2x-20
f3: y=12

Schnittpunkt von f1 und f3 ist (2/12)
Schnittpunkt von f1 und f2 ist (10/0)
Schnittpunkt von f2 und f3 ist (16/12)

14.12.2005, 12:52

Lazarus

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also die schnittpunkte stimmen schonmal.

zur flächeninhaltsberechnung .. mit integralrechnung sollte es kein problem darstellen, wenn du das noch nicht kannst, nimm die formel:
$\begin{eqnarray*} A_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot \sin{\gamma} \cdot a \cdot b \end{eqnarray*}$
dann musst du nurnoch die streckenlänge ausrechnen, aber das geht ja teilweise direkt (bei f3 z.b.) oder mit hilfe vom pythagoras Augenzwinkern

14.12.2005, 12:58

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also den umfang kann du auch mit der abstandformel berechnen

$\begin{eqnarray*} d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1+y_2)^2 \end{eqnarray*}$

wenn du den umfang von jeder geraden berechnet hast, kannst du noch die funktionsgleichung für die höhe aufstellen und dann wieder mit der abstandsformel die länge der höhe berechnen

nun die flächenformel für dreiecke benutzen
$\begin{eqnarray*} A=\frac{G*h}{2} \end{eqnarray*}$

G ist z.b. die seite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die Höhe muss dann $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ sein

14.12.2005, 12:58

brunsi

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RE: lineare Funktion
berechne einfach die Länge der Seiten des Dreiecks.

du erkennst, dass sie schnittpunkte (2|12) und (16|12) den gleichen y-Achsenabschnitt haben. dann berechnest du da schon einmal die Differenz der beiden x-Koordinaten. und erhälst dann die Länge der einen Seite.

und ansonsten hast du doch die Punkte (2|12) und (10|0) gegeben.

hier löst du das elegant mit Pythagoras.

stell dir einfach vor, die y-oordinaten der beiden gegebenen Punkte und die die jeweiliegen x-Koordinaten deiner Punkte bilden wenn man die Differenz bildet jeweils eine Kathete.

Also : $\begin{eqnarray*} x_1-x_2=d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10-2=8 \end{eqnarray*}$ <--- Länge der Kathete, die waagerecht zur x-Achse verläuft.

$\begin{eqnarray*} y_1-y_2=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0-(-12)=12 \end{eqnarray*}$ <---- Kathete, die senkrecht zur x-Achse verläuft.

und dann löst du einfach, wenn a die Länge der Strecke ist, die zwischen den beiden Punkten liegt mit dem satz des pythagoras auf:

$\begin{eqnarray*} a^2=d^2+c^2 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{8^2+12^2} \end{eqnarray*}$

das ist dann die eine gesuchte strecke.

analog machste das nun für die andere noch ausstehende strecke. zwischen (10|0) und (16|12).

edit: huhu ich war noch mit schreiben beschäftigt Augenzwinkern

14.12.2005, 12:59

Biene80

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Auf diese Formel bin ich auch schon gestoßen, aber wie verpacke ich meine Schnittpunkte in diese Formel und was ist a und was b?

14.12.2005, 13:01

brunsi

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a und b sind die seiten des gegebene dreiecks.

leider musst du aber vorher die seiten ausrechnen um auf die winkel zu kommen.

14.12.2005, 13:05

Biene80

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Aufgrund meiner Haarfarbe (blond) kann ich mit dieser Formel absolut nix anfangen. Wie groß sind a und b bei den gegebenen Schnittpunkten bzw. bei den gegebenen Funktionsgleichungen? Ich versteh´ das einfach nicht. Sorry.

14.12.2005, 13:08

brunsi

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haste dir einmal meine darstellung angeschaut? da habe ich bereits 2 von drei seiten ermittelt.

14.12.2005, 13:14

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also du kannst deine seiten beliebig benennen mit den buchstaben a,b,c

ich habe a jetzt als beispiel genommen

nun zur aufgabe. sagen wir mal, dass wir die punkte $\begin{eqnarray*} P_1(1/2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2(3/4) \end{eqnarray*}$

nun kannst du mit den beiden punkten die länge von der seite berechnen, auf der diese punkte liegen, nämlich mit der abstandsformel
d heisst einfach distanz

$\begin{eqnarray*} d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_2)^2=(1-3)^2+(2-4)^2=4+4=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=2,828 \end{eqnarray*}$ (cm, angenommen die angaben waren in zentimeter angegeben)
so das ist nun die länge von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$

nun musst du alle seiten so berechnen und dann den umfang mit der formel
$\begin{eqnarray*} U=a+b+c \end{eqnarray*}$

um den flächeninhalte ausrechnen zu können, musst du zuerst eine funktion suchen. da die seite $\begin{eqnarray*} P_1P_2 \end{eqnarray*}$
orthogonal zu seiner höhe ist, nimmst du die formel

$\begin{eqnarray*} m_1*m_2=-1 \end{eqnarray*}$ das wandelst du nach m_2 um und setzt dann die steigung von $\begin{eqnarray*} P_1 P_2 \end{eqnarray*}$ ein. damit hast du nun die steigung von $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ (nennen wir die Höhe $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ )
so nun musst du nur noch b ausrechnen . dies kannst du mit der linearen funtioktionengleichung, also $\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

m kannst du einsetzen und den schnittpunkt gegenüber der seite a ist der punkt für y und x.
somit musst du nur noch alles einsetzen und nach b auflösen. wenn du b hast, so musst du nur noch den schnittpunkt von der funktion $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ und der funktion $\begin{eqnarray*} P_1 P_2 \end{eqnarray*}$ berechnen, indem du sie gleichsetzt. dann berechne die länge der höhe und berechne anschliessend die fläche mit der formel vorhin, was ich dir gegeben habe

14.12.2005, 13:26

Biene80

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Ja, das habe ich und das ist auch wahnsinnig lieb von dir, aber ich versteh´ nicht, wie du das machst und was das Ergebnis ist. Ich habe jeweils einen Wert pro Seite: 13,4 / 14,4 /14
Allerdings sind die ersten Werte gerundet.
Demzufolge kann ich die Werte in die Formeln für Umfang (u=a+b+c) und Flächeninhalt (A=1/2ab*sin gamma). Wie groß ist gamma? Der Umfang wäre dann demzufolge 41,8? Und welche Einheit hat der Umfang?

14.12.2005, 13:29

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lass das mit dem winkel, denn das ist komplizierter und wie du auf die formel braucht lange zeit, bis wir es dir erklärt haben( ich habe mir die formel selbst noch nicht angeschaut :lolhammer smile

.
schau dir mein beitrag an und probier es damit,weil das einfacher ist.

edit: die schnittpunkte kannst du in den Punkten $\begin{eqnarray*} P_1,P_2 und P_3 \end{eqnarray*}$ umbenennen

14.12.2005, 13:33

brunsi

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und wenn du den nicht verstehst, dann nimm meinen mit dem pythagoras.

das heißt, dass du über der strecke zwischen zwei schnittpunkten einfach ein rechtwinkliges dreieck erzeugst. und dann mit pythagoras die seiten ausrechnet.

14.12.2005, 13:37

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Zitat:

Original von brunsi
das heißt, dass du über der strecke zwischen zwei schnittpunkten einfach ein rechtwinkliges dreieck erzeugst. und dann mit pythagoras die seiten ausrechnet.

brunsi die abstandsformel ist der satz des pythagoras^^

14.12.2005, 13:39

Biene80

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Also den Umfang konnte ich nun dank deiner Hilfe berechnen, aber für die Berechnung brauch ich noch solch ein Beispiel, wie für den Umfang. Wir sollten die Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen, welches auf kariertem Papier sein soll, wobei pro Einheit ein Kästchen zu verwenden ist. Das habe ich getan, aber welche Einheit hat nun der Umfang? Ich kann ja schlecht schreiben: 41,8 Kästchen

14.12.2005, 13:41

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Zitat:

Original von Biene80
Umfang wäre dann demzufolge 41,8? Und welche Einheit hat der Umfang?

ja 41,8 ist richtig. die einheit musst du selber bestimmen! ich vermute in cm , weil du das zeichnen kannst auf papier^^. es kommt halt drauf an, welche einheiten die werte, mit denen du gerechnet hast ,hatten

14.12.2005, 13:45

Biene80

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Bitte, bitte gib mir noch ein Beispiel für die Berechnung des Flächeninhalts.

14.12.2005, 13:51

Biene80

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Und was hat es mit a²+b²=c² aufsich? Demzufolge müsste 13,4²+14,4²=14² sein, oder? Ja, ja, ich weiß, ich bin blond.

14.12.2005, 14:02

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wenn du dir meine erklärung genau durchlesen würdest, dann würdest du das verstehen!

um die fläche auszurechnen,brauchst du $\begin{eqnarray*} G*h/2 \end{eqnarray*}$ ,weil es ein dreieck ist.

die grundseite hast du schon, sogar drei grundseiten. du kannst dir eine grundseite nehmen, aber dafür musst du die Funktion für die Höhe der Grundseite bestimmen, also die Funktion $\begin{eqnarray*} y=mx*b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kannst du berechnen, nämlich mit der formel $\begin{eqnarray*} m_1=-1/m_2 \end{eqnarray*}$ ,weil das m von der Höhe orthogonal, also mit 90° winkel die seite schneidet. nun hast du m von der höhe, also die steigung der höhe

nun brauchst du noch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ b ist der punkt, wo die gerade die y-achse schneidet. um b auszurechnen verwendest du einfach die allgemeine funktionsgleichung für geraden, nämlich $\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$
m kannst du einsetzen. jetzt brauchst du y und x. die hast du auch schon, denn die punkte, die die höhengerade schneidet ist P. also ist P einer der Schnittpunkt. es kommt halt darauf an, welche höhe du berechnest. berechnest du die höhe von a, so ist ein punkt von $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ der Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , denn da geht die Höhe a durch.
durch einsetzen der punkte x und y kannst du b berechnen, nachdem du die allgemeine gleichung nach b aufgelöst hast.

jetzt hast du b und m. jetzt kannst du die geraden gleichung aufstellen, also z.b. $\begin{eqnarray*} y=mx+b=3x+5 \end{eqnarray*}$

um die länge der höhe a zu bestimmen, musst erst noch den schnittpunkt berechnen, wo die gerade $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ die seite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ schneidet. hast du das gemacht, dann hast du einen 2ten punkt , durch die die höhengerade $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ durchgeht.
nun kannst du mit der abstandsformel die länge der höhe berechnen und dann in der Flächenformel einsetzen, also

$\begin{eqnarray*} A=\frac{a*h_a}{2} \end{eqnarray*}$

hast du es jetzt verstanden? ich denke das muss verständlich sein Wink

14.12.2005, 14:06

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Zitat:

Original von Biene80
Und was hat es mit a²+b²=c² aufsich? Demzufolge müsste 13,4²+14,4²=14² sein, oder? Ja, ja, ich weiß, ich bin blond.

nein! zeichne dir zwei punkte! und verbinde die zu einer geraden. nun kannst ein rechtwinkliges dreieck zeichnen. deswegen der satz des pythagoras, weil die hypotenuse der abstand der beiden punkte ist!

$\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \end{eqnarray*}$

edit:biene kannst du mir sagen, welche klasse du gehst??

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