Induktion mit Binomialkoeffizient

14.12.2005, 12:42	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion mit Binomialkoeffizient Hi... ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+z}=(\sum_{n=0}^\infty~{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n \end{pmatrix} z^n )^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C, \|z\|<1 \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich mir gedacht, dass ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+z} = \sum_{n=0}^\infty~{(-1)^nz^n} \end{eqnarray}$ ist für die obigen Bedingungen... und weiterhin habe ich die erste Summe als Cauchysche Produktreihe aufgefasst und somit: $\begin{eqnarray} (\sum_{n=0}^\infty~{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n \end{pmatrix} z^n )^2} = \sum_{n=0}^\infty~{c_n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_n = \sum_{k=0}^n~{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n \end{pmatrix}z^k \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n-k \end{pmatrix} z^{n-k}} \end{eqnarray}$ wollte jetzt mit vollständiger Induktion zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n \end{pmatrix}z^k * \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n-k \end{pmatrix} z^{n-k}} = (-1)^nz^n \end{eqnarray}$ ist. für n=1 stimmts... aber ich bekomme den Induktionsschritt nicht hin... da steht dann irgendwann: $\begin{eqnarray} (-1)^nz^n + \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ n+1 \end{pmatrix}z^n = (-1)^{n+1}z^{n+1} \end{eqnarray*}$ und da komme ich vom umformen nicht weiter... ( also ich schaffe es nicht auf die rechte Seite vom = zu kommen )
14.12.2005, 16:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Du hast einen kleinen Schreibfehler drin! Es gilt: $\begin{eqnarray} c_n=\sum_{k=0}^n~{-\frac{1}{2}\choose k}z^k\cdot {-\frac{1}{2}\choose n-k}z^{n-k}=z^n\cdot \sum_{k=0}^n~{-\frac{1}{2}\choose k}{-\frac{1}{2}\choose n-k} \end{eqnarray}$ . Was diese Summe ist, hast du selbst schon einmal gepostet! Siehe hier. Gruß MSS
15.12.2005, 08:47	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar! - danke.... ich wäre nicht auf die Idee gekommen das z rauszuziehen, aber wenn ichs mir ansehe ist das ja immer $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ für alle k... cool, dann klappt das auch!!!

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