Durchschnittl. Anzahl von "Kurzstrecken" zw. Punkten im Kreis

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well Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnittl. Anzahl von "Kurzstrecken" zw. Punkten im Kreis
Ich zermatere mir mal wieder mein Hirn Hammer , komme aber nicht voran.

Das Problem:

Kreisfläche mit dem Radius r. k Punkte erscheinen zufällig verteilt in der Fläche. Die Formel für die durchschnittliche Strecke zwischen zwei einzelnen Punkten in einem Kreis hat Arthur Dent ermittelt:

(Quelle)

Frage: Wieviele Strecken zwischen Punkten im Kreis sind in Abhängigkeit von k (= Anzahl der Punkte) durchschnittlich kürzer als 0,25 r?

Ich habe verschiedenes probiert; es wäre wirr gleich damit loszulegen, weil ich keinen Plan habe. :-(
Über jeden Hinweis und jeden Gedanken, der mich zur Lösung führen könnte, bin ich dankbar.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du noch mehr solche Probleme hast, solltest du dir wirklich Gedanken um "ordentliche" Simulationen machen. Muss ja nicht C oder C++ sein, kann auch Java o.a. sein, aber Excel scheint mir nun wirklich sehr unhandlich.


EDIT: Folgendes aber als Vorüberlegung: Die Wahrscheinlichkeit, kleiner als 0.25r zu sein, ist für jede der Verbindungsstrecken gleich. Somit ist die mittlere Anzahl von Strecken kleiner als 0.25r genau das -fache der mittleren Anzahl Einzelstrecken kleiner als 0.25r. Insofern kannst du dich wieder auf Einzelstrecken konzentrieren. Ohne Simulation, also als Berechnung, geht das für Einzelstrecken so:



mit entsprechender Indikatorfunktion . Es folgt ziemlich analog zum angesprochenen Thread



Nettes Integral. Von Verschachtelungsebene 3 lässt es sich auf alle Fälle noch auf Ebene 2 drücken, dann wird einem vermutlich die numerische Integration nicht erspart bleiben...
 
 
well Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur,

das Integral zu lösen ist wohl zu aufwendig?!

Ich probiers mal mit simulieren!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich mal gespannt, wie nahe du an

kommst.
well Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Excel können in der Tat nur kleinere Brötchen gebacken werden. Ich hab mal für 3 Punkte (also k=3) eine Simulation gemacht; 1000 Durchläufe.

Ergebnis (Strecken <1/4r):




Na ja, immerhin in Sichtweite des Egebnisses aus Deinem praktischen C-Programm auf schnöder Athlon-XP 2600+ Maschine. ;-)

Für wieviel k gilt Dein Ergebnis?

Jetzt mach ich mich mal an k=4 ran.

Eine Sache gibt mir leicht zu denken. Dürfen bei k Punkten k verschiedene Zufallszahlen für den Winkel
generiert werden? Beispiel k=3. Wenn ich einen Winkel zw. P1 und P2 sowie P1 und P3 per Zufall generiert habe, ist dann der Winkel zw. P2 und P3 nicht daraus abzuleiten?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Strecke kleiner als 0.25*r ist. Das ist gleichbedeutend mit der mittleren Anzahl solcher Strecken bei k=2. Und zum Rest habe ich oben schon was geschrieben:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Wahrscheinlichkeit, kleiner als 0.25*r zu sein, ist für jede der Verbindungsstrecken gleich. Somit ist die mittlere Anzahl von Strecken kleiner als 0.25r genau das -fache der mittleren Anzahl Einzelstrecken kleiner als 0.25*r.

Hier greift nun wieder eine Linearität des Erwartungswertes!
well Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 4 Punkten mit 1000 Durchläufen sind die Ergebnisse für die 6 möglichen Verbindungslinien:
5,8% 4,6% 7,7% 7,9% 7,4% 6,5%

Macht im Mittel bei meiner Simulation 6,15%. Ich nehme an, dass sich die Ergbnisse bei Deinen ermittelten 5,5588 % einpendeln würden, wenn ich Durchlaufzahl erhöhe!?

Wenn ich Dich also richtig verstehe, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen zwei beliebigen Punkten eine Strecke < 0,25 r eintrifft 5,5588 %.

Was ist bei Dir der Bedeutungsunterschied zwischen "mittlere Anzahl von Strecken" und "mittlere Anzahl Einzelstrecken" (gemäß Zitat im vorangegangenen Beitrag)?

Beträgt die Wahrscheilichkeit bei k Punkten mindestens 1 Strecke < 0,25r zu haben = 1-(1-5,55885%)^k?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Mal zurück zur Problemstellung

Zitat:
Original von well
Wieviele Strecken zwischen Punkten im Kreis sind in Abhängigkeit von k (= Anzahl der Punkte) durchschnittlich kürzer als 0,25 r?

Erste Anmerkung: Zwischen Punkten interpretiere ich so, dass jede Auswahl von zwei dieser k Punkte in Betracht gezogen wird bei der Überprüfung, ob die zugehörige Länge der Verbindungsstrecke dieser zwei Punkte kürzer als 0.25*r ist. Insgesamt gibt es nun mal solche Verbindungsstrecken.

Zweite Anmerkung: Mit sowie kann man jetzt über



die Gesamtzahl solcher "kurzen" Strecken darstellen:



Will man jetzt gemäß Problemstellung die durchschnittliche Anzahl kurzer Strecken - also den Erwartungswert von - bestimmen, nutzt man einfach die Linearität des Erwartungswertes

,

wie ich oben schon geschrieben habe.

ABER: Die einzelnen Zufallsgrößen sind NICHT voneinander unabhängig! Daher ist z.B. zur Beantwortung der Frage, ob unter den Strecken wenigstens eine "kurz" ist, folgende Rechnung leider falsch:



An der Stelle wurde nämlich die hier nicht zutreffende Unabhängigkeit angenommen, und damit die Rechnung wertlos (alle anderen = stimmen).

Bei der Summe der Erwartungswerte macht diese Abhängigkeit keine Probleme, dort wird keine Unabhängigkeit vorausgesetzt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier zur Bestätigung die Simulation: Bestimmt wurde die Wahrscheinlichkeit von mindestens einer kurzen Strecke unter den Verbindungsstrecken. In der zweiten Tabelle erfolgt dann nochmal die Gegenüberstellung zu den Werten des "Unabhängigkeitsmodells" :

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
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10:
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21:
22:
23:
200 Simulationslaeufe mit jeweils 100000 Simulationen

 k  Wahrscheinlichkeit  Std.abw.  5%-Quantil   95%-Quantil
 2  0.05596             0.00070   0.05481      0.05708
 3  0.15997             0.00117   0.15803      0.16187
 4  0.29694             0.00145   0.29454      0.29929
 5  0.44751             0.00152   0.44522      0.45027
 6  0.59319             0.00145   0.59081      0.59554
 7  0.71990             0.00134   0.71782      0.72211
 8  0.82016             0.00120   0.81818      0.82205
 9  0.89249             0.00099   0.89065      0.89404
10  0.94035             0.00079   0.93908      0.94166

 k  tatsächlich   bei Unabhängigkeit
 2  0.05596       0.05588
 3  0.15997       0.15844
 4  0.29694       0.29178
 5  0.44751       0.43730
 6  0.59319       0.57790
 7  0.71990       0.70106
 8  0.82016       0.80001
 9  0.89249       0.87382
10  0.94035       0.92480

Die Unterschiede sind vielleicht klein (bis maximal 2%), aber zumindest für sind die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten signifikant höher als die rechts stehenden .
well Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank!

Zwei Detailfragen:

Zitat:
Original von Arthur Dent
An der Stelle wurde nämlich die hier nicht zutreffende Unabhängigkeit angenommen, und damit die Rechnung wertlos (alle anderen = stimmen).

Warum liegt keine Unabhägigkeit vor?

Darf man bei der Simulation alle simulieren, oder hat sich das "letzte" vielmehr aus den vorherigen zu ergeben? Beispiel k=3. Wenn ich einen Winkel zw. P1 und P2 sowie P1 und P3 per Zufall generiert habe, ist dann aus diesen beiden Winkeln rechnerisch der Winkel zw. P2 und P3 zu bestimmen (und nicht zu simulieren)?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von well
Warum liegt keine Unabhägigkeit vor?

Gegenfrage: Warum sollte sie vorliegen? Die Simulationsergebnisse zeigen, dass keine vorliegt. Das ist auch plausibel, wenn man sich mal nur k=3 Punkte vorstellt: Wenn der erste Punkt P1 am Rand liegt, dann sind schonmal die Chancen, dass P1P2 und P1P3 beide relativ groß sind auf jeden Fall höher, als wenn P1 ziemlich in der Mitte des Kreises liegt. Schon diese Betrachtung lässt eine Korrelation der Seitenlängen erahnen.

Ein anderes Argument: Ab einer gewissen Mindestanzahl kann man sich überlegen, dass in jeder, wirklich jeder (!) Konfiguration von Punkten mindestens eine kurze Strecke enthalten sein muss, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist dann gleich Eins. Bei Unabhängigkeit konvergiert nur gegen Eins, erreicht es für endliche aber nicht! Eine sehr grobe Abschätzung ergibt , tatsächlich ist es etwas kleiner.

Zitat:
Original von well
Darf man bei der Simulation alle simulieren, oder hat sich das "letzte" vielmehr aus den vorherigen zu ergeben? Beispiel k=3. Wenn ich einen Winkel zw. P1 und P2 sowie P1 und P3 per Zufall generiert habe, ist dann aus diesen beiden Winkeln rechnerisch der Winkel zw. P2 und P3 zu bestimmen (und nicht zu simulieren)?

Wenn du durcheinander kommst, betrachte es mal klarerweise so:

Für jeden Punkt simulierst du seine Polarkoordinaten, also seine Entfernung zum Mittelpunkt (Excel: WURZEL(ZUFALLSZAHL())) und einen Winkel zur x-Achse (Excel: 2*PI()*ZUFALLSZAHL()). Dann hat die kartesischen Koordinaten und . Dann kannst du rechnen:



letzteres unter Benutzung des Additionstheorems .
well Auf diesen Beitrag antworten »

O.K., verstanden. :-)

Wie bist Du auf die Zahlen in der Spalte "Tatsächlich" gekommen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na Simulation: Pro Einzelsimulation Punkte auswürfeln und überprüfen, ob eine kurze Strecke unter den Verbindungsstrecken sind. Und das wie erwähnt 200 x 100000 = 20 Millionen mal.
well Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dann ist die Spalte "Tatsächlich" eine Kopie der Spalte "Wahrscheinlichkeit".

Bist Du so nett auch für k=11 bis 20 die Simulation zu machen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von well
Bist Du so nett auch für k=11 bis 20 die Simulation zu machen?

Das kostet aber langsam was... Big Laugh
Wenn es mich nicht auch interessieren würde, hätte ich schon aufgehört.

code:
1:
2:
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6:
7:
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25:
200 Simulationslaeufe mit jeweils 100000 Simulationen

 k  Mittelwert    Std.abw.    5%-Quantil     95%-Quantil
11  0.9693930     0.0005478   0.9684400      0.9702950
12  0.9854702     0.0003741   0.9848100      0.9860700
13  0.9936668     0.0002401   0.9932900      0.9940450
14  0.9974630     0.0001689   0.9972100      0.9977400
15  0.9990651     0.0000932   0.9989050      0.9992100
16  0.9996867     0.0000557   0.9995900      0.9997700
17  0.9999066     0.0000320   0.9998500      0.9999600
18  0.9999753     0.0000157   0.9999500      1.0000000
19  0.9999931     0.0000084   0.9999800      1.0000000
20  0.9999985     0.0000041   0.9999900      1.0000000

 k  tatsächlich   bei Unabhängigkeit
11  0.9693930     0.9576822
12  0.9854702     0.9775184
13  0.9936668     0.9887239
14  0.9974630     0.9946603
15  0.9990651     0.9976127
16  0.9996867     0.9989923
17  0.9999066     0.9995984
18  0.9999753     0.9998489
19  0.9999931     0.9999463
20  0.9999985     0.9999820
well Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Zitat:
Original von Arthur Dent
Das kostet aber langsam was... Big Laugh
Wenn es mich nicht auch interessieren würde, hätte ich schon aufgehört.


Ähm, ... ich leg noch ein bissl nach ..., aber dann ist Schluß.

Ähm, wenn Du die Daten eh noch im Rechner hast, kannst Du dann bitte noch für alle k's feststellen, wie hoch die durchschnittliche Anzahl der Kurzstrecken ist und wie die Durchschnittslänge einer Kurzstrecke ist?

Wenn man die Schwelle, die die Kurzstrecke definiert, variiert muss man - befürchte ich - Simulationsläufe starten, weil es keine Formel oder Faustformel gibt, die die Abhängigkeit der gesuchten Größen von dieser Schwelle vorgibt. Richtig?

Und wer weiß, was noch alles kommt. geschockt

Deshalb: Was für ein Simulationsprogramm käme für meine bescheidenen Kenntnisse und noch bescheidendere finanziellen Spielräume aus Deiner Sicht in Frage?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von well
Ähm, wenn Du die Daten eh noch im Rechner hast, kannst Du dann bitte noch für alle k's feststellen, wie hoch die durchschnittliche Anzahl der Kurzstrecken ist und wie die Durchschnittslänge einer Kurzstrecke ist?

Das eine steht oben, und ich habe bereits dreimal drauf hingewiesen: Die mittlere Anzahl von Kurzstrecken ist einfach .
Die Durchschnittslänge einer Kurzstrecke... kommt noch.

Zitat:
Original von well
Und wer weiß, was noch alles kommt. geschockt

Deshalb: Was für ein Simulationsprogramm käme für meine bescheidenen Kenntnisse und noch bescheidendere finanziellen Spielräume aus Deiner Sicht in Frage?


Für die Simulation selbst habe ich wie gesagt ein C-Programm geschrieben (ich hatte allerdings bereits ein Gerüst davon von anderweitigen Simulationen, und musste gewissermaßen nur die Kernroutine - also das, was während einer Einzelsimulation läuft - neu schreiben). Da brauchst du neben soliden C-Grundkenntnissen also nur einen C-Compiler, und die gibt es wie Sand am Meer, z.B. auch kostenlos wie die GNU-Compiler-Suite. Unter Linux gehört die ja de fakto zum System, und unter Windows gibt es auch verschiedene Lösungen, als bekannteste cygwin.

Es gibt zwar auch spezielle Simulationssoftware, aber da kenne ich mich nicht so aus, kannst ja mal hier im passenden Unterforum eine entsprechende Anfrage stellen, vielleicht wissen andere da mehr.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So, noch die mittlere Kurzstreckenlänge (bei r=1):

code:
1:
2:
Mittelwert  Std.abw.  5%-Quantil   95%-Quantil
0.16418     0.00024   0.16382      0.16459

Gute N8 Wink
well Auf diesen Beitrag antworten »

:-) Vielen, vielen Dank!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Als Bonus zum Abschluss (?!) gibt's hier mal noch die Simulation der gesamten Verteilungsfunktion des Abstandes zweier gleichverteilter Punkte im Einheitskreis. Wink
well Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt smile Ich bin baff. Danach hätte ich mich nicht getraut zu fragen, sondern ich hätte mich in Excel-Exzesse gestürzt! Die Daten kann ich gut gebrauchen. Herzlichen Dank!
Um sicher zu gehen, ob ich die Daten tatsächlich richtig interpretiere, sage ich mal, wie ich es sie auffasse:
Die Spalte x ist das Streckenverhältnis zum Kreisradius r. x=0,5 heißt, dass die Strecke 0,5 des Radius ist. x=2 heißt, dass die Strecke das 2fache des Radius ist. x reicht bis maximal 2, weil damit der komplette Kreisdurchmesser abgedeckt ist.
Die Spalte F(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Strecke mindestens die Länge x hat. Für ist x=2 ist die Wahrscheinlichkeit maximal, nämlich 100%, weil damit der Kreisdurchmesser erreicht ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, F(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Streckenlänge kleiner als x ist, das meinst du ja sicher auch mit deinem Beispiel x=2. Und ja, hier meine ich den Einheitskreis r=1.
well Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, war ein Schreibfehler bei mir. Natürlich "kleiner als x" und nicht "mindestens x".
well Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur,

hast Du meine Nachricht am Sonntag vormittag erhalten? Ich frag nach, weil ich hier im System weder ersehen kann, ob sie rausgegangen ist, geschweige denn ob sie ankam.
bil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von well
weil ich hier im System weder ersehen kann, ob sie rausgegangen ist, geschweige denn ob sie ankam.


da ich selber erst neu registriert bin, kenne ich mich auch nicht so gut aus aber ich glaube wenn du auf der rechten seite auf den button "deine nachrichten" klickst und danach auf den button "postausgang", solltest du wenigstens sehen ob die nachricht rausgegangen ist....

gruss bil
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab nix bekommen per PN.

EDIT: ... aber per Mail. Icht antworte aber lieber hier im Thread.

Du interessierst dich also für die Verteilungsfunktion des aufsummierten Abstandes von k=3, 4, usw. gleichverteilten Punkten. Dazu muss ich aber nochmal genau nachfragen, wie du das meinst:

Pro Einzelsimulation sollen also (wie gehabt) gleichverteilte Punkte im Einheitskreis simuliert werden, und dann die Einzelstrecken summiert werden. Und von dieser Summe willst du die Verteilungsfunktion - ist das so.

Kein Problem, ich wart nur noch auf deine Bestätigung. Im Anschluss (kann aber noch etwas dauern) werd ich mal die C-Quellen zusammensuchen und hier reinstellen - vielleicht sind sie ja irgendwann irgendwem mal nützlich. Augenzwinkern
well Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Pro Einzelsimulation sollen also (wie gehabt) gleichverteilte Punkte im Einheitskreis simuliert werden, und dann die Einzelstrecken summiert werden. Und von dieser Summe willst du die Verteilungsfunktion - ist das so.

Hallo Arthur,
ja, genau so ist es.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die VF's für 3 bis 5 Punkte (mehr als 80kByte pro File sind hier nicht zulässig). Und die C-Quellen.
well Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Grandios!
Dadurch erspare ich mir wohl tagelanges Excelgemurkse.
Sicherheitshalber eine Verständnisfrage (auf das Risiko hin, dass sie möglicherweise banal ist).
Kann man konstatieren, dass die durchschnittliche Entfernung zwischen zwei Punkten (y) die Summe der Einzelstrecken (x) dividiert durch die Anzahl der Einstrecken (S) ist?
Beispiel: Bei 4 Punkten (k=4), d.h. S=6, und x=7,2. ==> y = x/S = 7,2/6 = 1,2
Wenn dem so ist, kann ich dann in Deinen Tabellen jeweils eine Spalte einfügen die mir y angibt und die Verteilungsfunktion F(x) ist dann auch eine Funktion von y.
Beispiel: In Deiner Tabelle VF4 (= Verteilungsfkt. für 4 Punkte) ist F(x) = 93,2727% für x=7,2. Bedeutet dies, dass für y=1,2 F(y) = 93,2727% ist?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau, was du damit meinst:

Nennen wir mal die Zufallszahl, die die Summe der Strecken bei Punkten beschreibt, und die zugehörige Verteilungsfunktion (also das, was ich dir für k=3,4,5 und am Freitag für k=2 geschickt habe).

Falls du glaubst, dass dann für

für alle

gilt, dann muss ich dich enttäuschen - das gilt nicht mal näherungsweise. Nur für die Erwartungswerte dieser Verteilungen gilt

,

die Argumentation verläuft ganz ähnlich wie hier.


EDIT: Ach, jetzt verstehe ich: Du willst einfach nur die Verteilungsfunktion für den Mittelwert bestimmen? Dann stimmt deine Argumentation.
well Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, die Verteilungsfunktion für den Mittelwert meine ich.

Für mich ist verwunderlich, dass für kurze die Wahrscheinlichkeit umso höher liegt, je niedriger k ist, während für lange die Wahrscheinlichkeit umso höher liegt je höher k ist. verwirrt

Nehmen wir mal und .

Für gilt folgendes
für k=2: ;
für k=4: ;

Für gilt folgendes
für k=2: ;
für k=4: ;

Bedeuten diese Zahlen verbal ausgedrückt:

Bei zwei gleichverteilten Punkten (k=2) beträgt die Wahrscheinlichkeit gleich 5,5872%, dass die durchschnittliche Entfernung zwischen den 2 Punkten maximal 0,25 beträgt.
Bei vier gleichverteilten Punkten (k=4) beträgt die Wahrscheinlichkeit gleich 0,06905%, dass die durchschnittliche Entfernung zwischen 2 Punkten maximal 0,25 beträgt.

Bei zwei gleichverteilten Punkten (k=2) beträgt die Wahrscheinlichkeit gleich 73,4155%, dass die durchschnittliche Entfernung zwischen den 2 Punkten maximal 1,2 beträgt.
Bei vier gleichverteilten Punkten (k=4) beträgt die Wahrscheinlichkeit gleich 93,2727%, dass die durchschnittliche Entfernung zwischen 2 Punkten maximal 1,2 beträgt.

Was mich daran "stört" ist, dass für eine Entfernung von maximal 0,25 bei k=2 die Wahrscheinlichkeit höher ist als wie bei k=4, während es sich für eine Entfernung von maximal 1,2 umgekehrt darstellt: Die Wahrscheinlichkeit bei k=4 liegt höher als wie bei k=2.

Zwischen k=2 und k=4 setzt dieser "Dreher" bei ein. Mir ist es nicht plausibel, warum ab einer gewissen Schwelle die Wahrscheinlichkeit für große k's beginnt höher zu sein als als bei niedrige k's.

Wie kann das sein?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ein völlig normaler Effekt für dieses Mittelwertgrößen - irgendwie weißt du wohl nicht, was du willst! Wenn ich mal mit die Verteilungsfunktion dieser Mittelwerte bezeichne, dann gilt nach dem Gesetz der großen Zahlen im Grenzwert sogar



wobei (wie berechnet) ist.


Und trotz Abhängigkeiten der Abstände untereinander ist hier im Endeffekt wohl auch der Zentrale Grenzwertsatz anwendbar, der genauere Aussagen über diese Konvergenz aussagt: Wegen gilt dann nämlich



mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Dummerweise ist diese Varianz theoretisch nicht so einfach bestimmbar (durch Simulation geht's natürlich näherungsweise Augenzwinkern ). Bei angenommener Unabhängigkeit der Abstände würde einfach gelten



Tatsächlich ist sie aber wegen der Abhängigkeit der Abstände deutlich größer.

-------------------------------------------------------------------------------

Angesichts dieser unumstößlichen Tatsachen der Stochastik sind die von dir beschriebenen Effekte so zu erwarten. Worüber wunderst du dich also?

P.S.: Beigefügt mal ein Plot der Verteilungsfunktionen für k=2..6
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
well Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!

Viele Dank für den Beweis.

Zitat:
Original von Arthur DentAngesichts dieser unumstößlichen Tatsachen der Stochastik sind die von dir beschriebenen Effekte so zu erwarten. Worüber wunderst du dich also?
Weil ich die Tatsachen der Stochastik nicht gegenwärtig habe, und es mir manchmal schwerfällt es mir gegenwärtig zu machen, wenn ich "gefühlsmäßig" etwas anderes erwarte.
Ich erwartete "gefühlsmäßig", dass je mehr Punkte vorhanden sind, umso höher die Wahrscheinscheinlichkeit ausfällt, dass der mittlere Abstand zwischen zwei Einzelstrecken unterhalb einer definierten Schwelle liegt.
Aber nun ist mir klar, dass das logischerweise nicht durchgehend der Fall ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab den Beitrag grad nochmal verändert. Die Varianzbetrachtungen für den Zentralen Grenzwertsatz waren in der ersten Fassung noch falsch. Das ändert aber qualitativ nichts am angesprochenen Effekt, nur quantitativ.
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