geometrische Interpretation einer Matrix

15.12.2005, 17:59	Der Student	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Interpretation einer Matrix Von meinem Übungszettel fehlt mir nur noch folgende Aufgabe: Versuchen Sie geometrisch folgende Matrix im $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ zu interpretieren: $\begin{eqnarray} 2^{-\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei hier nicht unbedingt die kanonische Basis gemeint ist (denke ich zumindest). Denn für diesen Fall bleibt der Betrag der Vektoren erhalten, und das Koordinatensystem wird gespiegelt und um 45° gedreht. Ich habe das noch für ein paar andere Basen ausgerechnet. Z.B. Kommt für die Basis (1,1), (0,-1) ist $\begin{eqnarray} f(1,1)=(2^{-1/2}, 0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0,-1)=(2^{-1/2},\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ . Für (-1,-1),(0,-1) erhält man $\begin{eqnarray} f(-1,-1)=(-2^{-1/2},\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0,-1)=(-2^{-1/2},0) \end{eqnarray}$ . Ich erkenne da überhaupt keine Regelmäßigkeit, kann mir jemand helfen? die komplette aufgabe ist auf: http://www.math.uni-bonn.de/people/stroh...r05/blatt08.pdf
15.12.2005, 23:53	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Student, wenn deine Beobachtung an der Standardbasis zutrifft (was ich nicht geprüft habe), dann ist das die geometrische Interpretation der Matrix: Die Matrix "wirkt" ja erst, nachdem man sich auf eine Basis festlegt, nachdem man also ein Koordinatensystem in den Raum einführt. Bezüglich dieses Koordinatensystems (und da ist es egal welches man wählt) verhält sich die Abbildung so wie du es beschrieben hast (die Spiegelung mit anschließender Drehung kann man übrigens als eine einzelne Spiegelung beschreiben). Dass die Matrix anders wirkt, wenn man eine andere Basis wählt, ist nicht verwunderlich, aber bezüglich dieser Basis verhält sich die Abbildung wie beschrieben. Strenggenommen hast du in dem zweidimensionalen R-Vektorraum V aber kine Drehung und keine Spiegelung, nicht einmal eine Vektorlänge - all diese Begriffe setzen ein Skalarprodukt (der letzte nur eine Norm) voraus, die aber auf V nicht gegeben sind. Eigentlich betrachtest du also den Koordinatenraum, der durch die Wahl einer Basis entsteht, und beschreibst die Wirkung von A auf diesen Koordinatenraum. Das ist nicht falsch, und ich würde es als Versuch der geometrischen Interpretation vermutlich gelten lassen. Robot

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