Extremwertaufgaben |
| 20.04.2004, 20:21 | Alena | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Extremwertaufgaben Kann mir vielleicht jemand bei folgender Aufgabe helfen? Wäre echt nett!! Einer Halbkugel mit dem Radius R=5cm ist ein (gerader) Kreiskegel eingeschrieben und zwar so, dass seine Spitze im Mittelpunkt des Grundkreises der Halbkugel liegt. Wie sind der Grndkreisradius und die Höhe des Kreiskegels zu wählen, damit sein Volumen maximal wird? Vielen Dank im Vorraus und viele liebe Grüße, Alena |
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| 20.04.2004, 23:39 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, ich versteh deine Beschreibung nicht, vielleicht hängst du ne kleine skizze dran X( |
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| 21.04.2004, 14:34 | agnaruog | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Alena, Könnte das ganze vielleicht so aussehen:  http://people.freenet.de/stuebi2/007.gif--> V in Abhängigkeit von r2 und h2 berechnen? MfG agnaruog |
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| 21.04.2004, 22:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo allerseits! Die Beschreibung von Alena war eigentlich verständlich, aber eine schöne Skizze erleichtert auf jeden Fall die Arbeit. Ich befürchte allerdings, dass alle bisher antwortenden Herr- (oder Damen-)schaften nicht wirklich in der Lage sind, die Aufgabe zu lösen. Daher wollen wir's mal in Angriff nehmen: Die Hauptbedingung ist, dass das Volumen des Kegels (r, h) ein Maximum werden soll: V = r²*PI*h/3 Die Nebenbedingung (NB) wird aus der Tatsache abgeleitet, dass der Kegel der Halbkugel eingeschrieben ist; in der Skizze ist schön ersichtlich, dass der Kegelradius, die Kegelhöhe und der Radius R der Halbkugel ein rechtwinkeliges Dreieck bilden. (Die Bezeichnungen r, h, R wurden statt r2, h2 und r1 gewählt, weil besser damit zu rechnen ist) NB.: r² + h² = R² Nun wird eine Variable in der HB durch die in der NB ersetzt, damit in der HB nur mehr eine Variable steht. Dadurch entsteht die Zielfunktion, die man ggf. noch vereinfachen, und dann mittels deren Ableitungen auf Extremwerte untersuchen kann: aus NB.: r² = R² - h² V = (R² - h²)*PI*h/3 1. Vereinfachung der Ansatzfunktion: PI/3 ist konstanter Faktor, für Untersuchung auf Extremwerte kann man positive, konstante Faktoren (wenn sie die ganze Funktion betreffen) weglassen: f(h) = R²h - h³ .. Zielfunktion in h (R ist Konstante) f '(h) = R² - 3h² f ''(h) = -6h Da die 2. Ableitung negativ ist (h > 0), liegt ein Maximum vor! f '(h) = 0 .. Bedingung für Extremum 3h² = R² h = R/(sqrt(3) cm °°°°°°°°°°°°°°°°°°°° mit R = 5 ->> h = 5/sqrt(3) aus NB wird noch r berechnet: r² = R² - R²/3 = (2/3)*R² r = R*sqrt(2)/sqrt(3) = 5*sqrt(2)/sqrt(3) cm °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Das Volumen des Kegels beträgt V = (2/3)*R²*PI*R/(3*sqrt(3)) = 2*R³*PI/(9*sqrt(3)) Gr mYthos |
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| 22.04.2004, 13:00 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, ich muss ehrlich sagen, dass ich sie hingekriegt hätte...war mir halt nur nicht sicher genug, was die Beschreibung anging... |
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