Normalverteilung - Frage zu Aufgabe(n)

15.12.2005, 20:13

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Normalverteilung - Frage zu Aufgabe(n)

Hallo,

es geht um die Aufgabe im Anhang.

Ich habe bereits mal den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=n*p=50*0,6=30 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

Also bei 50 zufällig gezogenen Geldstücken aus der Truhe, liegt der Erwartungswert für Golddukaten bei 30 Stück.

Und wie kann ich nun den exakten Wert berechnen, dass genau 20 Golddukaten bei den 50 gezogenen enthalten sein sollen?

Das Näherungsverfahren mit Gauß'scher Glockenkurve währe dann ja: $\begin{eqnarray*} B(n;p;k)=\frac{1}{\sigma(X)*\sqrt{2\Pi}}*e^{-\frac{1}{2}t^{2}} \end{eqnarray*}$

Jo, wobei dann $\begin{eqnarray*} \sigma(X)=\sqrt{n*p*(1-p)} \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} z=\frac{k-n*p}{\sqrt{n*p*(1-p)}} \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, und wie geht das ganze um den exakten Wert zu berechnen?

Und beim Näherungsverfahren über die Gauß'sche Glockenkurve...was muss ich denn eigentlich für "t" einsetzen? Ist das mein berechneter z-Wert? Und "k" wäre in diesem Fall (Aufgabe 1 a) ) ja dann 20, um z zu berechnen oder?

Vielen Dank im Voraus!

16.12.2005, 01:23

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normalverteilung - Frage zu Aufgabe(n)
hi...
also der erwartungswert mit 30 ist richtig.

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Das Näherungsverfahren mit Gauß'scher Glockenkurve währe dann ja: $\begin{eqnarray*} B(n;p;k)=\frac{1}{\sigma(X)*\sqrt{2\Pi}}*e^{-\frac{1}{2}t^{2}} \end{eqnarray*}$

statt t meinst du wohl z.wie ist denn bei dir B(n,p,k) definiert? normalerweise ist es so definiert:

B(n,p,k)= $\begin{eqnarray*} P(X=k)={n\choose k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

dann ist deine aussage aber falsch. selbst wenn

B(n,p,k)= $\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k{n\choose i}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

so definiert wäre. was du da stehen hast ist die dichte der normalverteilung, du brauchst aber die verteilungsfunktion.
lies dir am besten das mal durch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

um den exakten wert (genau 20) zu berechnen musst du die binomialverteilung nehmen.
nämlich

$\begin{eqnarray*} P(X=20) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=50~,~p=0.6~,~k=20 \end{eqnarray*}$

um die approximation bzw. nährungslösung zu berchnen brauchst du die normalverteilung siehe ersten link
bzw. http://de.wikipedia.org/wiki/ Normalvert...rt<br /> eilung

das sollte erstmal reichen...

gruss bil

16.12.2005, 08:46

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also ich habe nun für den exakten Wert rausbekommen: $\begin{eqnarray*} P(X=20)=0,2% \end{eqnarray*}$

Und für den Wert per Näherungslösung der Gauß'schen Glockenkurve: $\begin{eqnarray*} P(X=20)=0,18% \end{eqnarray*}$

Kommt das hin?

16.12.2005, 10:06

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

ja kommt hin...
habe das gleiche raus bekommen.

gruss bil

16.12.2005, 16:36

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

alles klar - super. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei Aufgabe b) ist ja zuerst mal die Frage nach mindestens 250 Golddukaten bei einer Entnahme von 400 Stück aus der Truhe.

Da habe ich rausbekommen für $\begin{eqnarray*} P(X \geq 250)=77,53% \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

Und bei der Fragestellung für mindestens 230 und höchstens 245 komme ich irgendwie nicht weiter.

Ich habe mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} P(23, \leq X \leq 245) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(230 \leq 245) = P(X \leq 245) - P(X \leq 230) = F(400;0,6; 245) - F(400; 0,6; 230) \end{eqnarray*}$

Dafür dann jeweils die Hilfsgröße z ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} z_{2}=\frac{245-400*0,6+0,5}{\sqrt{400*0,6*0,4}}=0,56 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}=\frac{230-400*0,6-0,5}{\sqrt{400*0,6*0,4}}=-1,07 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(230 \leq X \leq 245) = \Phi(0,56) - \Phi(-1,07) = \Phi(0,56) - (1-(\Phi(1,07)) \end{eqnarray*}$

So, wenn das so weit stimmen würde, wie berechne ich denn nun eigentlich genau $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ? So: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\Pi}}*\int_{-\infty}^{z}~e^{-\frac{1}{2}t²}~dt \end{eqnarray*}$ ?

16.12.2005, 17:37

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Da habe ich rausbekommen für $\begin{eqnarray*} P(X \geq 250)=77,53% \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

überlegung stimmt, aber ergebniss ist falsch.

Zitat:

So, wenn das so weit stimmen würde, wie berechne ich denn nun eigentlich genau $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ? So: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\Pi}}*\int_{-\infty}^{z}~e^{-\frac{1}{2}t²}~dt \end{eqnarray*}$ ?

wie hast du oben eigentlich die 0.18% rausbekommen? da hättest du eigentlich schon mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ rechnen müssen....

dieses $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist die verteilungsfunktion von der standardnormalverteilung. die werte muss man in einer tabelle nachschauen und zwar in dieser:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

hier ist auch ein kleines bsp wie man die tabelle benutzt:
Schätzen

damit kannst du dann auch

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 250)=1-P(X \leq 250) \end{eqnarray*}$

ausrechnen.

dein $\begin{eqnarray*} P(230\leq X \leq 245) \end{eqnarray*}$ ist vom rechenweg richtig. musst nur noch die werte aus der tabelle ablesen und einsetzten...

gruss bil

Anzeige

16.12.2005, 18:05

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja, alles klar...glaub ich zumindest. *g*

Kam mir sowieso bisschen arg viel vor bei dem mindestens 250 Stück.

Also ich habe nun $\begin{eqnarray*} P(X \geq 250)=23,6% \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(230 \leq X \leq 245)=57% \end{eqnarray*}$ .

Passt das?

16.12.2005, 18:20

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

also 57% stimmt. bei

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 250)=P(250\leq X \leq 400) \end{eqnarray*}$

habe ich was anderes raus....

gruss bil

17.12.2005, 13:48

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ok.

Hm, also dann hab' ich mich wohl verrechnet...bins eben nochmal durchgegangen und habe bei einem z-Wert nun was andres raus, nur der ist so hoch, dass die Tabelle mir da nicht mehr weiterhilft..

$\begin{eqnarray*} P(250 \leq X \leq 400) = \Phi(16,38) - \Phi(0,97) \end{eqnarray*}$

Was mache ich da nun? Oder ist der Wert einfach falsch...?

$\begin{eqnarray*} z_{2}=\frac{400-0,6*400+0,5}{\sqrt{400*0,6*0,4}}=16,38 \end{eqnarray*}$

Hmm...

17.12.2005, 14:37

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
ne müsste alles passen. der wert

$\begin{eqnarray*} \Phi(16,38)\approx 1 \end{eqnarray*}$

es geht ja um das integral bzw. die fläche von der glockenkurve.
man sieht ja in er tabelle das bei x=4.9

$\begin{eqnarray*} \Phi(4,9)=0,99998 \end{eqnarray*}$

ist.

und bei 16,38 muss der wert noch grösser sein.... also kann man ruhig 1 nehmen.

gruss bil

17.12.2005, 15:22

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

stimmt auch wieder, noch mehr 9er braucht man ja auch nicht machen, da passt dann 1 schon.

$\begin{eqnarray*} P(250 \leq X \leq 400) = \Phi(16,38) - \Phi(0,97)=16,6% \end{eqnarray*}$

Und bei Aufgabe c) schauts ja so aus:

$\begin{eqnarray*} n=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=0,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \geq 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Sicherheitswahrscheinlichkeit: }96% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 100)=96% \end{eqnarray*}$

?

Und nun muss ich dann irgendwie auf mein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kommen, wenn das soweit ok ist. Ich weiß aber noch nicht wirklich wie...

17.12.2005, 18:23

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig... jetzt musst du noch auf n kommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

da ich jetzt wenig zeit habe verweise ich dich mal hierhin:
Schätzen

die fragestellung ist recht ähnlich... wenn das nicht reicht, helfe ich später nochmal..

gruss bil

17.12.2005, 18:43

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...alles klar.

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{100-n*0,6+0,5}{\sqrt{n*0,6*0,4} }) \geq 0.96 \geq \Phi(1.76) \end{eqnarray*}$

So? Dann hätte ich für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eben 100 eingesetzt, aber es ist ja auch nach mindestens 100 Golddukaten gefragt, also kann ich für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ja dann den Minimalwert nehmen, oder?

Und falls ja, wie rechne ich das Ganze nun aus? Ich habe mal probiert und was mit $\begin{eqnarray*} n=9153,53 \end{eqnarray*}$ raus. Aber über 9000 Golddukaten in der Truhe, dass man mit 96%iger Wahrscheinlichkeit sagen kann, dass 100 Golddukaten dabei sind...kommt mir irgendwie etwas viel vor. *gg*

17.12.2005, 19:01

Teutone

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, so geht das nicht mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ einsetzen. Du hast gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} P(X\leq100)\geq0.96 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.
In der Tabelle stehen ja die Werte des Integrals von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , deshalb musst du das Gegenereignis nehmen, so dass irgendwie nen "höchstens" drin vor kommt...

17.12.2005, 19:46

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...stimmt. Naja ich muss ja schauen, dass ich $\begin{eqnarray*} P(100 \leq X \leq 400)=0,96 \end{eqnarray*}$ bekomme.

Und wie das nun rechnen ohne $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Bzw. wie $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ daraus ausrechnen? Das würde dann ja funktionieren wie in Posting #5. Mit zwei z-Werten die ich dann in der Tabelle nachschaue und dann eben voneinander abziehen die beiden $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ . So nun kann ich ja aber keinen z-Wert ausrechnen, da mir $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ fehlt. (?)

17.12.2005, 20:49

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
$\begin{eqnarray*} P(100 \leq X \leq 400)=0,96 \end{eqnarray*}$

ich schätze mal du meinst das:

$\begin{eqnarray*} P(100 \leq X \leq n)=0,96 \end{eqnarray*}$

ist auch richtig von der idee aber so wirds schwierig. du musst es dir etwas umformen damit du leichter das n bestimmen kannst, nämlich so:

$\begin{eqnarray*} P(100\leq X \leq n)=0.96~\Leftrightarrow ~ P(X\leq 100)=0.04 \end{eqnarray*}$

jetzt sollte es eigentich nicht mehr so schwer sein. du musst in der tabelle nachschauen welcher wert 0.04 ergibt und dann durch gleichsetzten solltest du auf das n kommen. versuchs mal und wenns nicht hinhaut sehen wir weiter...

gruss bil

17.12.2005, 21:10

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

achso...ok.

Aber mit welchem Wert komme ich denn auf 0,04? Es gibt ja nicht mal einen Wert der 0,4 bringt.

17.12.2005, 21:23

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

da die normalverteilung symmetrisch ist kannst du es auch über die tabelle herausfinden.
hier wirds erklärt wie:
Schätzen

gruss bil

17.12.2005, 21:38

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also so: $\begin{eqnarray*} \Phi(-1,76)=1-\Phi(1,76)=1-0,96080=0,0392 \end{eqnarray*}$

Aber das würde mich ja dann wieder dazu führen: $\begin{eqnarray*} z=(\frac{100-n*0,6+0,5}{\sqrt{n*0,6*0,4} }) = 1,76 \end{eqnarray*}$

Glaub ich versteh's noch nicht so ganz.. *g*

17.12.2005, 21:47

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Aber das würde mich ja dann wieder dazu führen: $\begin{eqnarray*} z=(\frac{100-n*0,6+0,5}{\sqrt{n*0,6*0,4} }) = 1,76 \end{eqnarray*}$

nicht ganz richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} z=(\frac{100-n*0,6+0,5}{\sqrt{n*0,6*0,4} }) = -1,76 \end{eqnarray*}$

jetzt musst du bei der gleichung das n bestimmen. eine gleichung mit einer unbekannten...

gruss bil

17.12.2005, 22:11

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ok...da hab ich nun 'ne quadratische Gleichung bekommen und folgende Ergebnisse erhalten: $\begin{eqnarray*} n_{1}=149,77 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_{2}=187,3 \end{eqnarray*}$

D.h. die Anzahl an entnommenen Geldstücken muss zwischen 150 und 187 liegen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% mindestens 100 Golddukaten dabei sind. (?)

18.12.2005, 01:18

Teutone

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 188 sind richtig, aber den anderen Wert gibts gar nicht...

18.12.2005, 03:44

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

jepp stimmt..

wie du auf den anderen wert gekommen bist verstehe ich auch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

18.12.2005, 09:17

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...naja bei 'ner quadratischen Gleichung gibts ja meistens zwei Lösungen und daher hab ich eben mal beide auch hingeschrieben. Woher weiß ich nun, dass ich den größeren Wert nehmen muss? Augenzwinkern

Augenzwinkern

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich habe noch eine kurze Aufgabe zur Normalenverteilung und daher poste ich die mal noch hier im Thema. (s. Anhang)

Bei Aufgabe a) heißt die Fragestellung übrigens: "Wie groß ist die Gefahr, dass der König nach dem Ergebnis der Strichprobe seinen Hofmarschall fälschlicherweise des Betrugs bezichtigt?"

Ich habe da auch schon was gerechnet und irgendwie zwei Möglichkeiten. *gg*

Einmal habe ich hier $\begin{eqnarray*} P(X \geq 110)=8,5% \end{eqnarray*}$ und dann noch $\begin{eqnarray*} P(110 \leq X \leq 200)= \Phi(11,619) - (1-( \Phi(1,5155)) = 0,93574 = 93,6% \end{eqnarray*}$ .

Tja...stimmt überhaupt etwas davon oder hab ich vll. sowieso irgendwie einen falschen Ansatz gemacht?

18.12.2005, 13:38

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Hi,

hm...naja bei 'ner quadratischen Gleichung gibts ja meistens zwei Lösungen und daher hab ich eben mal beide auch hingeschrieben. Woher weiß ich nun, dass ich den größeren Wert nehmen muss? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

aber den anderen Wert gibts gar nicht...

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Zitat:

Einmal habe ich hier $\begin{eqnarray*} P(X \geq 110)=8,5% \end{eqnarray*}$ und dann noch $\begin{eqnarray*} P(110 \leq X \leq 200)= \Phi(11,619) - (1-( \Phi(1,5155)) = 0,93574 = 93,6% \end{eqnarray*}$ .

Tja...stimmt überhaupt etwas davon oder hab ich vll. sowieso irgendwie einen falschen Ansatz gemacht?

also das erste ergebniss soll sicherlich $\begin{eqnarray*} P(X<110)=8,5% \end{eqnarray*}$ bedeutet und ist damit auch richtig.

gruss bil

18.12.2005, 14:23

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm..wieso gibt es den anderen Wert nicht?

Ich habe da stehen: $\begin{eqnarray*} n_{2}-337,1+28056,25=0 \end{eqnarray*}$

Und daraus bekomme ich einmal $\begin{eqnarray*} n_{1}=187,3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_{2}=149,77 \end{eqnarray*}$ .

Woher ich nun aber wissen soll, welcher der beiden Werte gilt, weiß ich nicht wirklich. Oder gibt es einen anderegn Weg oder eine andere Umformung um genau und nur die 187 bzw. 188 zu bekommen? (bei mir wohl Rundungsabweichung)

Zur Aufgabe 2. a):

Ja, das sollte natürlich $\begin{eqnarray*} P(X \leq 110)=8,5% \end{eqnarray*}$ heißen.

Bei Aufgabe 2. b):

Da habe ich für die Entscheidungsregel Folgendes: "Der Schatzkiste werden willkürlich 200 Geldstücke entnommen. Wenn unter diesen mindestens 103 Golddukaten sind, will er dem Hofmarschall weiter sein Vertrauen schenken."

Kommen da die 103 hin? Also genauer wären es eigentlich 103,357. *g*

19.12.2005, 00:42

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Und daraus bekomme ich einmal $\begin{eqnarray*} n_{1}=187,3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_{2}=149,77 \end{eqnarray*}$ .

Woher ich nun aber wissen soll, welcher der beiden Werte gilt, weiß ich nicht wirklich. Oder gibt es einen anderegn Weg oder eine andere Umformung um genau und nur die 187 bzw. 188 zu bekommen? (bei mir wohl Rundungsabweichung)

um zu überprüfen ob du irgendwo einen rechenfehler hast, setzt doch einfach mal deine beiden werte in die gleichung ein. und wenn bei beiden -1,76 rauskommt reden wir weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Bei Aufgabe 2. b):

Da habe ich für die Entscheidungsregel Folgendes: "Der Schatzkiste werden willkürlich 200 Geldstücke entnommen. Wenn unter diesen mindestens 103 Golddukaten sind, will er dem Hofmarschall weiter sein Vertrauen schenken."

Kommen da die 103 hin? Also genauer wären es eigentlich 103,357. *g*

103 ist korrekt...

gruss bil

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »