Doppellimes

15.12.2005, 21:50

Gast0

Doppellimes

Hallo,

Bin gerade etwas verwirrt. Ich möchte einen Grenzwert der Form $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} ~ \lim_{n \to \infty} ~ \sum_{k=1}^n ~ f(x) \cdot a_n \end{eqnarray*}$ berechnen. Kann man da die Limes-Zeichen vertauschen, also ist das gleich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ~ \lim_{x \to a} ~ \sum_{k=1}^n ~ f(x) \cdot a_n \end{eqnarray*}$ ? Dabei existieren beide Grenzwerte, wenn man den jeweils anderen Limes weglässt (und infolgedessen auch die "hintereinandergeschalteten" Limites). Das wäre praktisch, da sich in manchen Fällen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} ~ \sum_{k=1}^n ~ f(x) \cdot a_n \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ~ \lim_{x \to a} ~ \sum_{k=1}^n ~ f(x) \cdot a_n \end{eqnarray*}$ viel einfacher ausrechnen lassen als andersherum.
Wäre nett, wenn mir jemand mal eine Übersicht geben könnte, wann man bei so etwas tauschen darf und wann nicht.

15.12.2005, 22:12

Mathespezialschüler

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Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wirklich nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt (soll das so sein? Die Frage ist wichtig ...), kannst du das ja beliebig davorziehen. Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n~f(x)\cdot a_n=\lim_{x\to a}\lim_{n\to\infty}f(x)\cdot \sum_{k=1}^n~a_n=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n~a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to a}f(x)\cdot \sum_{k=1}^n~a_n=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to a}\sum_{k=1}^n~f(x)\cdot a_n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.12.2005, 23:20

Gast0

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Sorry, hab mich verschrieben. Ich meinte, dass f auch von n bzw. a_n von x abhängt. Also sowas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} ~ \lim_{n \to \infty} ~ \sum_{k=1}^n ~ f(x,n) \end{eqnarray*}$ .
z.B. bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ~ \lim_{k \to \infty} ~ \sum_{n=0}^k ~ \frac{x^n}{n!} = \lim_{x \to 0} ~ \operatorname{exp}(x) = 1 = \lim_{k \to \infty} \frac{0^0}{0!} = \lim_{n \to \infty} ~ \lim_{x \to 0} ~ \sum_{n=0}^k ~ \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ würde ja dasselbe herauskommen.

16.12.2005, 00:10

Mathespezialschüler

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Achso, ok. Dann ist das ein altbekanntes Problem. Bei Potenzreihen geht das, solange du dich im Konvergenzbereich der Potenzreihe bewegst.
Das Stichwort im allgemeinen Fall leutet hier gleichmäßige Konvergenz. Damit sollte man sich beschäftigen, bevor man solche Fragen angeht. Diese von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängige Funktion schreibt man dann auch gern als eine von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängige Folge. Also $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ . Ich nenne dir dann einmal das Kriterium. Da du anscheinend die gleichmäßige Konvergenz noch nicht kennst, kann ich erstmal nicht viel erklären. Also:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_k) \end{eqnarray*}$ eine Funktionenfolge auf der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Wenn für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Limes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\sum_{k=1}^n~f_k(x) \end{eqnarray*}$

existiert und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~f_k(x) \end{eqnarray*}$

gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann existieren die beiden Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n~f_k(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to a}\sum_{k=1}^n~f_k(x) \end{eqnarray*}$ und sind gleich.

Gruß MSS

17.12.2005, 14:44

Gast0

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Also könnte man z.B. sagen, dass die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_k(x)) := (\sum_{n=0}^{k} ~ \frac{x^n}{n!})_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig (auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) konvergiert, weil $\begin{eqnarray*} \operatorname{exp}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} ~ \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert (nach den 'gewöhnlichen' Konvergenzregeln) ?

17.12.2005, 18:33

Mathespezialschüler

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Mit absoluter Konvergenz hat das nichts zu tun!! Desweiteren konvergiert diese Potenzreihe nicht gleichmäßig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Jede Potenzreihe konvergiert nämlich nur auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzbereiches gleichmäßig.

Gruß MSS

18.12.2005, 13:26

Gast0

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Aber aus absoluter Konvergenz folgt doch Konvergenz, also kann ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \geq n_0 \ \left|f_n(x) - a_x\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , und zwar für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich mir die Definiton von gleichmäßiger Konvergenz bei Wikipedia ansehe, sagt das doch genau das (mit $\begin{eqnarray*} a_x := f(x) := \operatorname{exp}(x) \end{eqnarray*}$ ). Oder was sehe ich da falsch? verwirrt

18.12.2005, 13:32

Gast0

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Liegt es vielleicht daran, dass ich die (Konvergenz-)aussage damit nur für jedes x einzeln (also punktweise) gezeigt habe?

18.12.2005, 20:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gast0
Liegt es vielleicht daran, dass ich die (Konvergenz-)aussage damit nur für jedes x einzeln (also punktweise) gezeigt habe?

Ganz genau das ist es.

Gruß MSS

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