Kurvendiskussion

15.12.2005, 22:39

Mathegenie²

Kurvendiskussion

Halloo miteinander....

ich habe eine "kurze" Augenzwinkern

Frage an euch oder besser gesagt ich brauche eine Hilfe, denn davon hängt alles ab...

ich habe eine Aufgabe - die lautet:
In der Funktionsgleicung $\begin{eqnarray*} f(x)=ax²+bx \end{eqnarray*}$ sind die Parameter a und b so zu bestimmen, dass die Kurve die Gerade mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} 6x-5y+4=0 \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P(2|p) \end{eqnarray*}$ berührt.
(Bestimme das Extremum und die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Zeichne den im 1.Quadranten gelegenen Teil der Kurve. Welcher Kurvenpunkt A hat den geringsten Abstand von der Geraden Y= - x +12?
Wie lautet die Gleichung der durch A verlaufenden Kurvennormalen?)

das ganze (naja außer die letzte Frage) kann ich berechnen oder herausfinden, wenn ich die Definition von "BERÜHREN" verstehen könnte.

also ich verstehe darunter, dass diese eine Tangente ist und deshalb habe ich so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 6x-5y+4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{6}{5} +\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
nachdem ich die Steigung hab' , kann ich weiter rechnen....

$\begin{eqnarray*} f'(2)=\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2ax+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a2=\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=\frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

aber dann weiß ich leider nicht, wie ich b ausrechnen soll, vielleicht könnt ich ja die 2 in die Funktion einsetzen?!???
Keine Ahnung...

Danke im Voraus
und Byeees

15.12.2005, 22:43

Frooke

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RE: Kurvendiskussion

Zitat:

Original von Mathegenie²
In der Funktionsgleicung $\begin{eqnarray*} f(x)=ax²+6x \end{eqnarray*}$ sind die Parameter a und b so zu bestimmen

Wo ist hier ein b?

Zum Begriff berühren allgemein:

Zwei Funktionen schneiden sich, wenn

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$

und sie berühren sich, wenn

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \wedge f'(x_0)=g'(x_0) \end{eqnarray*}$

15.12.2005, 22:50

Mathegenie²

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ooo ich hab einen Tippfehler, werd das gleich verbessern...

also nach deiner Definition muss man die Gleichungen gleichsetzten oder? (wenn ich mich nicht irre!)

15.12.2005, 22:51

Frooke

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Ja, die beiden Funktionen gleichsetzen und auch deren Ableitungen...

15.12.2005, 22:59

Mathegenie²

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alsooo ich hab das mal gleich gesetzt!

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax²+bx=\frac{6}{5}x+\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2ax+b=\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$

was soll man dann machen verwirrt

15.12.2005, 23:05

Frooke

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Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Das geht ja tiptop!

Diese Gleichung
$\begin{eqnarray*} 2ax+b=\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$
nach b auflösen...

dann b hier einsetzen und mit der Mitternachtsformel machst Du den Rest...

$\begin{eqnarray*} ax²+bx=\frac{6}{5}x+\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

15.12.2005, 23:25

Mathegenie²

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oh gott stimmt ja, hab jetzt um diese Uhrzeit eine Denkblockade unglücklich

hmmm, also bei mir kommt unter der Wurzel bei der Mitternachstformel etwas negatives... soll ja eigentlich nicht sein!

Doppelpost zusammengefügt. Bitte benütze die «Edit-Funktion» (Frooke)

16.12.2005, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathegenie²
alsooo ich hab das mal gleich gesetzt!

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax²+bx=\frac{6}{5}x+\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2ax+b=\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$

was soll man dann machen verwirrt

Es geht doch um die Stelle x=2. Also solltest du das mal für x einsetzen. Dann kommt ein normales GLS raus und keine quadratische Gleichung.

18.12.2005, 17:56

Mathegenie²

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sorry aber ich würde die Aufgabe komplet anders ausrechnen, ich meine a und b kann man auch anders ermittlen...

ich brauche 2 andere Gleichungen , da ich 2 Unbekannte habe
und die lauten:

$\begin{eqnarray*} I. f(2)=\frac{16}{5} \end{eqnarray*}$ --> Berührpunkte
$\begin{eqnarray*} II. f'(2)=\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ --> Tangente; Steigung der Geraden

naja, dann lös ich die II. Gleichung nach b
$\begin{eqnarray*} b= \frac{6}{5}-4a \end{eqnarray*}$

dann II in I

$\begin{eqnarray*} 4a+2(\frac{6}{5}-4a)=\frac{16}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4a=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a= - \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= \frac{6}{5} - 4 (-\frac{1}{5})= 2 \end{eqnarray*}$

und dann halt weiterrechnen....

PS: und nach meiner Meinung nach ist ein Berührpunkt nicht wie Schnittpunkt, also muss die Gerade eine Tangente an der Kurve sein!

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