Aufgabe zu linearen Abbildungen |
| 16.12.2005, 15:50 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Aufgabe zu linearen Abbildungen Ich bräuchte ein wenig Hilfe bzgl. folgender Aufgabe: Sei f ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V, der die Bedingung f *verknüpft* f = f erfüllt. (ein solches f heißt Projektor) Beweisen Sie: a) b) Also ich weiß nicht so ganz, ob meine Gedanken dazu korrekt sind. Denn ich bin mir sicher, dass f durch die Bedingung die Identität ist durch: Nur die Frage ist, ob ich das überhaupt machen darf, da f ich ja vorher nicht gegeben habe, dass f ein Isomorphismus ist... Aber durch f = identität wäre es ein Automophismus und die Behauptungen trivial oder? |
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| 16.12.2005, 18:06 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » |
so einfach ist es nicht, da du nicht weisst, ob die Umkehrabbildung ueberhaupt existiert. Da f(f(x))=f(x), existiert fuer x ungleich f(x) schonmal keine Umkehrabbildung! Und es gibt durchaus Projektoren, die nicht gleich der Identitaet sind (und nur die Identitaet hat als Projektor ueberhaupt eine Umkehrabbildung). |
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| 16.12.2005, 20:09 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah stimmt, bis jetzt ist mir die Nullabbildung gar nicht eingefallen...ach mist... Vermutung: Es muss kein Isomorphismus sein, aber es darf auf kein anderes Element als auf die Null etwas mehr als einmal geschickt werden, da sonst die Linearität kaputt wäre...? Hmm, ich denke darüber noch mal nach 
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| 16.12.2005, 20:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
z.b. fürs erste nimm an, es wäre x sowohl im bild, als auch im kern von f x liegt im bild, also gibtsn y mit f(y)=x, beachte, dass dann auch f(f(y))=x sein muss, aber f(f(y))=f(x)=..... ein standardbeispiel für eine projektion ist übrigens die senkrechte projektion in einen unterraum (senkrecht bzgl. irgendeines skalarproduktes) da kannst du dir selbst mal beispiele, vielleicht vom IR^3 in die x1-x2-ebene überlegen |
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