Probleme mit Integral bzw. dessen Anfänge |
| 20.04.2004, 21:02 | Guido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Probleme mit Integral bzw. dessen Anfänge also ein besipiel ich habe die aufgabe das spielfeld zwischen der laufbahn eines stadions zu maximieren. (siehe kleine skizze) die laufbahn also der komplette umfang hat 400m und darf sich nicht verändern. der halbkreis der laufbahn hat 100m umfang. jetzt ist das problem wie ermittle ich die das größte viereck dadrinnen? (sihe skizze grüne fläche) naja ich meine wenn die kurven kleiner sind sprich der umfang des halbkreises geringer wird auf jeder seite ist mehr für die geraden übrig, aber das hieße ja ich müsste den umfang des halbkreies ggen null setzten... aber das kanns ja auch nicht sein? kann mir vielleicht jemand helfen, wie hier überhaupt integral zum einsatz kommt? (keine lösung der aufgabe bitte) man beachte das ist die einführung in das theme und ich hab noch nicht das benötigte fachwissen um alles sofort zu verstehen, also werd ich wohl noch mehrmals nachfragen müssen 
wäre cool wenn mir da jemand helfen könnte |
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| 20.04.2004, 23:00 | MatheBlaster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Guido, super Vorarbeit, vorbildlich 
:]Also bei Extremwertaufgaben geht man eigentlich zum Starten immer gleich vor. Du stellst zwei Bedingungen auf, einmal die Hauptbedingung, die optimiert, also minimal oder maximal werden soll. In deinem Fall ist es A = h * b, wobei A der Flächenhinhalt des grünen Rechteckts mit der Höhe h und der Breite b ist und maximal werden soll. In der Nebenbedingung wird der gegeben Wert verbraten, in deinem Fall der Umfang der Rennbahn mit 400m. Der Umfang setzt sich aus zweimal der Breite zusammen (oberhalb und unterhalb des Rechtecks). Dazu kommen noch die beiden Halbkreise. Diese haben als Durchmesser die Höhe des Rechtecks, also ist der Radius r = h/2. Ein Kreis hat bekanntlich den Umfang , in deinem Fall sind es zwei Halbkreise, also , bleibt also alles beim alten. Also ergibt sich als Nebenbedingung Jetzt gilt es U nach b oder h freizustellen und in A einzusetzen. Soweit erstmal, dann fröhliches Rechnen. |
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| 21.04.2004, 00:17 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Probleme mit Integral bzw. dessen Anfänge
was willst du da noch optimieren ?? da geht nichts mehr !! Der Halbkreis mit 100m Länge bestimmt eindeutig dessen Durch- messer und damit ist die andere Rechteckseite ebenfalls festgelegt. Da gibts nicht's zu variieren unter diesen Bedingungen und deiner Zeichnung ... . |
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| 22.04.2004, 17:44 | Guido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hehe danke erstmal an matheblaster, ich glaub ich hab das jetzt ein wenig besser verstanden, obwohl ich mir dass mehrmals durchlesen musste 
bin dann bei a auf folgendes ergebnis gekommen A = (~)6366m^2 aber scheinbar hat poff auch recht, weil das einfach nur länge mal breite ist, sofern b=100 ist und somit h=~63,66 aber hab ich dass dann jetzt auch wirklich maximiert?hmmhm oh mann ich und mathe hehe :P :P |
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| 22.04.2004, 18:08 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die Variation des HalbKreises zulässt (ist dann nur noch ein Kreissegment und kein Halbkreis mehr) dann kannst du als Resultat NUR ein Quadrat herausbekommen ... |
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| 22.04.2004, 18:10 | Guido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja die variation will ich zulassen, aber da ist ja grade das problem bei der maximierung 
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| 22.04.2004, 20:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist nicht sonderlich sinnvoll dieser Ansatz, aber was solls. Wenn du die Variation zulassen willst und zwar unter deiner Bedingung Länge eines Kreisteils = 100 = const, dann solltest du von folgendem Ansatz ausgehen: Anstatt nun komplizierte Kreisberechnungen mit in eine Formel aufzunehmen folgender Gedanke. Zu jeder Strecke h (Kreissehne) 200/Pi <= h <= 100 gibt es einen entsprechenden Kreisradius r derart, dass der zugehörige Kreis höchstens ein Halbkreis ist. (den entarteten mit r=infinite nehmen wir mit dazu) Für die 'Optimierung' kannst du den Kreis nun erstmal außer Acht lassen mit Ausnahme dessen, dass h sich innerhalb dieser Schranken befinden muss, wenns ne Lösung sein soll. Als zu maximierende Bedingung ergibt sich A = h*a = h * (400 - 2*h)/2 = h * (200 -h) = 200h -h² Davon berechnest du das Optimum und überprüfst dann nur noch ob sich der gefundene Wert innerhalb der vorgegebenen Schranke befindet und damit zulässig ist. (200/Pi <= h <= 100 ) Wenn ja bist du fertig, wenn nein musst du weiteres Gehinschmalz opfern
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| 26.04.2004, 17:43 | Guido | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
huhu
boah ich glaub ich habs geschafft!! danke für die gute hilfe!! ich schreib hier mal rein, was ich damit angestellt hab :P A = a * b < Hauptbedingung U = 2a + 2 * PI * b / 2 < Nebenbedingung habe bei der nebenbedingung dann nach a umgestellt a = U - PI * d ------------- 2 (alles dann durch 2 teilen) A = 400 / 2 * d - PI * d^2 / 2 = 200 * d - PI / 2 * d^2 (ist ein wenig umgestellt damits auch geht
)nun die ableitung ....... A' = 200 - 2 * PI/2 * d A' = 200 - PI * d null setzten ..... 0 = 200 - PI * d -200 = -PI * d 200 / PI = d d = 63,66 a war bereits weiter oben bekannt durch die gleichun... diese dann einfach nur in die hauptbedingung einsetzten und mal d nehmen dann müsste das ergebnis bei einem umfang von 400m A = 6366,191m^2 sein ... puh das müsste stimmen so
PS: hatte an anfang noch einen fehler gemacht: es war nur bekannt das der umfang 400m sei aber keine länge der kreise oder ähnliches also konnte man den durchmesser gar net wissen oder ermitteln
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