La-Place - Rücktransformation

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Wellfare Auf diesen Beitrag antworten »
La-Place - Rücktransformation
Vorne weg. Ich habe keine Ahnung in welches Forum ich das Stellen sollte. Auch wenns um physikalische Inhalte geht so ist doch mein Problem in der Mathematik angesiedelt. Folgende DGL war gegeben.



Frage war wie Xa reagieren würde nach einer sprunghaften Änderung von Xe(t>=0)? Das ganze sollte durch Transformation in den Laplace-Bereich geschehen.
->

mit und

ergibt für

jetzt kommt mein Problem. Wie kann ich die Funktion von Xa(s) wieder zurücktransformieren in den Zeitbereich?

Herauskommen soll



Kann mir da jemand helfen?
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast



Nun arbeite dich mit dem Verschiebungssatz im Frequenzbereich und dem Satz für das Integrieren im Zeitbereich von innen nach aussen...

siehe zB:
http://www.iei.tu-clausthal.de/~promise/...ipt/node50.html
Wellfare Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit dem Verschiebungssatz im Frequenzbereich gemeint...in deinem angegebenen Link sind Verschiebung der Originalfunktion nach rechts und links als Sätze angegeben. Deine Umformungen sind ja leicht nachzuvollziehen. Ich weiß auch, dass der Sinn dieses Boardes nicht darin liegt, den Lösungsweg komplett vorzulegen. Aber über ein wenig mehr deteillierte Antworten würde ich mich dennoch freuen.
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Fang von rechts an:

Was ist die Zeitfunktion die dem Ausdruck

entspricht ?

Wenn Du nur


hast ist es einfach: Dies ist die Sprungantwort (1 für t>=0; 0 für t<0)
Wieso? ein Ausdruck mit 1/s deutet immer auf eine Integration des rests hin. Der Rest ist hier 1. Was ist die Zeitfunktion die im Frequenzbereich 1 entspricht ? Der Einheitspuls. Der hat als Integral über die Zeit aber f(t)=1.
Daher endest du hier mal beim Einheitssprung

Nun hast Du aber

was sich in die Form

bringen lässt. Nun schau nach bei Dämpfungssatz:
Einer Verschiebung im Frequenzbereich entspricht eine Dämpfung im Zeitbereich.
In deinem Fall:


Nun musst du noch das 1/s berücksichtigen. es entspricht einer Integration der Originalfunktion



Nun noch der Multiplikator 1/T

Resultat:

Wellfare Auf diesen Beitrag antworten »

soweit hab ich einiges dazu gelernt...bleibt für mich noch die Frage, wie ich darauf komme, dass 1/s meinetwegen der Integration der Originalfunktion entspricht...? oder ich bei
den Dämpfungssatz anwenden muss. Wie man die Formeln anwendet ist klar, aber wann ich welche zu nehmen habe leider noch nicht so ganz.
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen die Zeitfunktion sei
Dies soll einer Laplacetransformierten entsprechen.

Du kannst nun die Zeitfunktion integrieren:



Dann braucht man die Laplacetransformierte nicht neu berechnen, sondern setzt einfach ein 1/s davor.

Anders ausgedrückt: Wenn gilt



dann gilt auch



Ebenso:

Wenn gilt:



dann gilt auch



Diese (und eine Reihe anderer sog. "Korrespondenzen") ergeben sich aus der Definition des Laplaceintagrals. Sie erleichtern die Rücktransformation.
 
 
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

mit der Partialbruchzerlegung würde es auch ganz einfach gehen, hier spart man sich das Iintegrieren, dafür muss man halt die zwei Koeffizienten bestimmen. Vorteil ist dann wohl, dass man direkt aus der Korespondenztabelle übernehmen kann (bzw hier geht es wohl auch aus dem Kopf)
Gruß Jan
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt. Ist wahrscheinlich sogar einfacher.
Die Universallösung guibt es nicht.
Wellfare Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antworten.
Wenn ich beispielsweise den Weg der Partialbruchzerlegung gehen will, dann komme ich auf



nach Koeff.-Vergleich komme ich auf A=T und B=1-T

das ergibt folgendes Integral:



sieht dem richtigen Ergebnis bis dato noch vollkommen fremd aus. Was hab ich falsch gemacht bzw. wie könnte es weiter gehen?
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

du musst hier nichts integrieren!


dann nacheinander mit dem jeweiligen Nennerpolynom multiplizieren und den Wert für s einsetzten, bei der der Therm Null ist:




und:





daraus ergibt sich dann:



das ganze geht mit etwas übung natürlich viel schneller als mit einem Integral, vor allen Dingen wenn die Bildfunktionen umfangreicher werden.

Gruß Jan
pantysniffer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Harry Done
mit der Partialbruchzerlegung würde es auch ganz einfach gehen, hier spart man sich das Iintegrieren, dafür muss man halt die zwei Koeffizienten bestimmen. Vorteil ist dann wohl, dass man direkt aus der Korespondenztabelle übernehmen kann (bzw hier geht es wohl auch aus dem Kopf)
Gruß Jan


Jo das seh ich ganz genauso. In der Regelungstechnik sind das ganze typische probleme. Und ich käme nie auf die Idee mit dem Verschiebungssatz zu arbeiten (das ist typisch für die Mathe freaks smile ). Partialbruchzerlegung ist hier echt das mittel der ersten wahl Lehrer
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Hi pantysniffer,
ich bin auch deiner Meinung, ich komme auch aus dem Bereiche der E-Technik und wenn man dort Übertragungsfunktionen zurück transformiert, gibt es da ja auch nichts besseres als ne Partialbruchzerlegung.

Gruß Jan
Resetter Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich entstaube mal nen alten Beitrag für mein eigenes Problem, auch wenns nicht DIREKT mit dem da oben zu tun hat...

Ich hab eine DGL gelöst, mit Laplace, also, besser, FAST gelöst...
Ich muss nur noch zurücktransformieren und hab keine Ahnung wie ich das anstellen soll...
Der Term den ich bekomme steht in keiner tabelle, und muss allerdings richtig sein, ich habs von mhreren, mathematisch begabteren kontrollieren lassen...

Partialbruchzerlegung hilft mir auch nicht, die terme die ich bekomme stehen auch in keiner Tabelle und mit den Sätzen find ich auch nix...

Kann mir bitte jemand von euch ein klein wenig helfen und mir nen Schubs in Richtung Lösung geben?

Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Resetter,
es bietet sich hier an, den Nenner mit Hilfe einer Polynomdivision in deine einzelnen Liniearfaktoren zu zerlegen.Also:
->

dann eine Polynomdivision mit

ergibt:


dann musst du eine Partialbruchzerlegung machen mit dem neuen Term:


es ergibt sich also einmal eine gedämpfte Schwingung und eine e-Funktion mit

So denke ich, ist es am einfachsten.
Gruß Jan
Resetter Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort, aber wie kommst du auf die gedämpfte schwingung?
der 2. Term kommt in keiner meiner Tabellen vor, ich kann ihn auch ncht weiter zerlegen...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Resetter
der 2. Term kommt in keiner meiner Tabellen vor, ich kann ihn auch ncht weiter zerlegen...


Für welchen Term suchst du noch eine Rücktransformation, kannst du den erstmal angeben ?

Grüße Abakus smile
Resetter Auf diesen Beitrag antworten »

[/quote]

Ursprünglich den hier, aber eine Rücktransformation des zerlegten Thermes (siehe Beitrag "Harry Done") wäre auch hilfreich
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Resetter
..., aber eine Rücktransformation des zerlegten Thermes (siehe Beitrag "Harry Done") wäre auch hilfreich


Ja, ich meine schon den zerlegten Term, das ist ja schon eine Vereinfachung, weil ein Teilproblem gelöst ist. Wie sieht dieser Term aus ?

Grüße Abakus smile
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich wollte nicht alles einfach hinschreiben, ist aber jetzt vielleicht doch besser bzw. verständlicher.
Partiabruchzerlegung ergibt:

jetzt gibt es hier einen Trick, den man anwenden kann. Ich hoffe, du weißt wie Verschiebung zu stande kommen, dann kann man hier nämlich quadratisch ergänzen:


Dann ist ist der letzte Ausdruck im Grunde sowas:


mit einer Verschiebung im Zeitbereich von also eine e-Funktion davor.
Und das müsste in deiner Korrespondenztabelle auf jeden Fall stehen (cos,sin)

Gruß Jan
Resetter Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke, jetzt kann ich folgen, umso mehr muss ich mich fast schämen, dass ich den ausdruck hier auch nach endlosem hin-und hergeschiebe nirgends finden kann:



is da noch ein trick dabei oder bin ich nun endgültig zu blöde?

nochmal großen DANK ^^
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Resetter,
es gibt natürlich noch einen Trick, den man aber unbedingt beherrschen sollte, wenn man mit der Koresspondenztabelle arbeitet, weil da die Ausdrücke halt ganz allgemein dastehen. Sie ist ja im Grund dafür da, um sich komplizierte Berechnung zu sparen und mit den Grundregeln der Algebra die Lösung leicht und verhältnissmäßig schnell zu finden.
Um nicht alles schon vorzusagen, sag ich nur soviel:



was wäre dann hier a?
ich gehe stark davon aus, dass das in deiner tabelle steht, wenn nicht würde ich mir eine neue besorgen^^ (muss nicht umbedingt a heißen aber halt so ähnlich)

Gruß Jan

PS: wenn noch unklar kannst gerne nochmal nachfragen

edit: Korrespondenztabelle finde ich ganz gut, hier steht das ganze mit omega.
Resetter Auf diesen Beitrag antworten »

Mann, danke vielmals, jetzt hab ichs endlich überrissen...
In der tabelle stand der sinus mit nem 1/omega drin - und ich hab nicht durchgeblicht vorerst....

Endlich kann ich jetzt das ganze Beispiel lösen, das war ja jetzt mal ne tortur *g*

Danke danke danke jedenfalls ^^
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