Sin Cos Reihe.... SCHWER !!!

16.12.2005, 22:20

maxx03

Sin Cos Reihe.... SCHWER !!!

Hallo,

Hat wer eine Ahnung wie der Wert von folgender unedlichen Reihe ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{cos(xn)sin(yn)}{n}, \ -\pi < x < \pi, \ 0 < y < \pi \end{eqnarray*}$

Ich komm da kein Stück voran. Ich müsste irgendwie zeigen dass die Reihe immer grösser gleich $\begin{eqnarray*} -\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Ich habe das mit Matlab überprüft und es scheint zu stimmen , nur wie kann ich das beweisen.

Wenn wem was einfällt, vielen Dank !!

16.12.2005, 23:04

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Zunächst mal ist gemäß Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \cos(xn)\sin(yn)= \frac{1}{2}\left[ \sin\left( (y+x)n \right) + \sin\left( (y-x)n \right) \right] \end{eqnarray*}$

Dann kannst du dich auf die Berechnung der Reihe

$\begin{eqnarray*} g(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(zn)}{n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}<z<\pi \end{eqnarray*}$ konzentrieren. Und da lohnt es sich, einen Blick auf die Ableitung $\begin{eqnarray*} g'(z) \end{eqnarray*}$ zu riskieren...

EDIT: Ja danke, Leopold, hab zuviel "einhalbt" - habe jetzt das falsche $\begin{eqnarray*} \frac{y\pm x}{2} \end{eqnarray*}$ durch das richtige $\begin{eqnarray*} y\pm x \end{eqnarray*}$ ersetzt.

17.12.2005, 10:32

Leopold

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@ Arthur

Auf der rechten Seite deiner Gleichung scheinen mir die Argumente nicht zu stimmen.

@ maxx03

Mit komplexer Analysis läßt sich der Reihenwert relativ leicht bestimmen. Für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z| \leq 1, \, z \neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Log} \end{eqnarray*}$ als dem Hauptzweig des Logarithmus

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{z^n}{n} \ = \ - \operatorname{Log}(1-z) \end{eqnarray*}$

Speziell $\begin{eqnarray*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in ( \, 0 \, , 2\pi) \end{eqnarray*}$ zeigt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}~\frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i} nt}}{n} \ = \ - \operatorname{Log} \left(1-\operatorname{e}^{\operatorname{i} t} \right) \ = \ - \operatorname{Log} \left( -2 \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{t}{2}} \, \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{t}{2}} - \operatorname{e}^{ - \operatorname{i} \frac{t}{2}}}{2 \operatorname{i}} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ - \operatorname{Log} \left( 2 \operatorname{e}^{\operatorname{i} \, \frac{t - \pi}{2}} \, \sin{\frac{t}{2}} \right) \ = \ - \ln{\left( 2 \sin{\frac{t}{2}} \right)} - \operatorname{i} \, \frac{t - \pi}{2} \end{eqnarray*}$

Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\cos{(nt)}}{n} \ = \ - \ln{\left( 2 \sin{\frac{t}{2}} \right)} \, , \ \ \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\sin{(nt)}}{n} \ = \ \frac{\pi - t}{2} \end{eqnarray*}$

Diese Formeln gelten für $\begin{eqnarray*} t \in ( \, 0 \, , 2\pi) \end{eqnarray*}$ . Die zweite Reihe konvergiert auch noch für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t = 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Allerdings gilt dort die Formel nicht mehr. Man sieht aber direkt, daß dann der Reihenwert 0 ist.

Jetzt kannst du speziell $\begin{eqnarray*} t = y+x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t = y-x \end{eqnarray*}$ setzen und kommst mit Arthurs (verbessertem) Trick weiter. Ein bißchen Augenmerk mußt du noch auf die Fälle $\begin{eqnarray*} y+x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y-x = 0 \end{eqnarray*}$ legen.

17.12.2005, 18:35

maxx03

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RE: Sin Cos Reihe.... SCHWER !!!
Ok schon mal 1000 Dank.

Ich habe das jetzt allerdings mit euren Tips wie folgt ausgerechnet:

Sei * der gesuchte Wert der unendlichen Reihe.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} 2* = \sum \frac {sin((y+x)n)}{n} + \sum \frac{sin((y-x)n)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\pi-(y+x)}{2}+\frac{\pi-(y-x)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\pi-y \end{eqnarray*}$

(Äh was soll das <br/> bedeuten ? wie bekomme ich das weg? )

Das würde also heissen * ist immer grösser 0 da ja y kleiner Pi. Aber mit Matlab habe ich oft für bestimme x und y einen deutlich negativen Wert der Reihe erhalten (zB. -0.32 ca. nach 10000 Reihengliedern).
Ist der Fehler jetzt in der Rechung hier oder irgendwo in meinem Matlab Programm ? (Ich hoffe letzteres)

Ich finde es auch merkwürdig dass * überhaupt nicht von x abhängt, obwohl doch x in ähnlicher weisse wie y in der Reihe vorkommt.

edit: Latex-Codes verbessert. (MSS)

Edit:

Ok ich hab den Fehler: Ich habe nicht berücksichtigt dass y+x bzw y-x nicht immer in (0,2Pi) liegen müssen. Durch eventuellen Übergang zB. zu 2Pi + (x+y) können für die Summe * auch negative Werte herauskommen.

17.12.2005, 18:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von maxx03
(Äh was soll das <br/> bedeuten ? wie bekomme ich das weg? )

Du darfst in Latex keine Zeilenumbrüche machen, sondern musst dann in der nächsten Zeile neue Latex-Grenzen ansetzen.

Gruß MSS

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Sin Cos Reihe.... SCHWER !!!

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