inhomogenes Gleichungssystem

16.12.2005, 23:58	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
inhomogenes Gleichungssystem Folgendes inhomogenes Gl.-System: $\begin{eqnarray} -ax_1+2x_2-x_3 = a+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-1)x_1+ax_2+3x_3 = -a+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2a+2)x_1-2x_2+x_3 = -a-1 \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie: Das Gl.System ist eindeutig lösbar für alle a außer a=-2 und a=-6. Tja, haben sowas schon lange nicht mehr gemacht Aber ich habe mir erstmal gedacht, ich könnte das ja mit Determinanten lösen. Aber da komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. bei mir ist $\begin{eqnarray} det(a,b,c) = a^2 -8a -12 \end{eqnarray}$ und ich denke mal, dass man das gleich null setzen müsste, um rauszubekommen, für welche a das Gl.-System nciht eindeutig lösbar ist, oder? Aber da kommt ja leider was anderes raus, habe ich mich da verrechnet? Was mich auch verwundert, ich habe mit Hilfe von Determinanten für x1 folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{-8a-12}{a^2-8a-12} \end{eqnarray}$ naja...ich habe es dann einfach nochmal mit additionsverfahren probiert. und da bekomme ich plötzlich für x1: $\begin{eqnarray} \frac{a+1}{a+2} \end{eqnarray}$ mache ich was bei den Determinanten falsch? Dann habe ich das Gleichungssystem weiter aufgelöst zum Teil schon große Dinger raus, aber zum Glück $\begin{eqnarray} (a+2)(a+6) \end{eqnarray}$ im Nenner Damit habe ich das bewiesen richtig? Belassen wir es erstmal bei der nummer a) Vielen Dank im Voraus! Gruß, aRo
17.12.2005, 00:24	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie sieht man die nullstellen -2 und -6 schon raus, aber nicht mit diesen vorzeichen hast du dich eventuell bei denen vermacht? edit: (a+2)(a+6)=a^2+8a+12 zu bedenken geb
17.12.2005, 06:40	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inhomogenes Gleichungssystem Das mit der Determinante ist schon richtig. Wenn die 0 ist, dann ist das Gleichungssystem nicht lösbar, da die Inverse der Matrix nicht berechnet werden kann. Du hast da einfach ein Vorzeichen-Problem. Soweit ich das beurteile, müsste die Det folgender Maßen aussehen: a^2+8a+12 Daraus folgt, dass die Det für a=-2 und a=-6 null wird. Patrick
17.12.2005, 11:43	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja, danke! hatte mich echt bei der determinante verrechnet! dann passt das mit dem Nenner! Bleibt nur noch mein Problem mit dem $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ . (habe das oben im ersten Beitrag korrigiert, hatte ich da vertippt). Mit Determinanten erhalte ich jetzt plötzlich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ Wieson das? also ich bilde $\begin{eqnarray} det(d,b,c) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a+1 & 2 & -1 \\ -a+1 & a & 3 \\ -a-1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und da bekomme ich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ raus. Schon wieder falsch? edit: ich glaub ich frag lieber doch schon einmal. Also bei der Nummer b) sollen wir die drei Gleichungen als Ebenenscharen interpretieren. Welches "Schnittgebilde" haben die 3 Ebenen in Abhängigkeit von a? Ich weiß nicht, wie ich da rangehen soll. Ich könnte ja x1,x2 und x3 berechnen (was ich ja schon getan habe) und dann alle in eine Gleichung einsetzen und gucken für welche as was passiert. Aber selbst dann...was muss denn dann passieren, dass es nur ein Schnittpunkt ist, und was damit eine ganze gemeinsame Gerade? Für alle drei parallel muss wahrscheinlich ein Widerspruch auftreten oder? Oder wie macht man das am geschicktesten? Gruß, aRo
17.12.2005, 16:59	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Lösung für x1 stimmt. Da ich von Natur aus faul bin, habe ich das mal in Mathematica eingegeben (ja - ich schieße gerne mit Kanonen auf Spatzen ). Dann ergibt sich für die anderen Unbekannten: $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{2(2+a)}{6+a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = -\frac{-2+3a+a^2}{6+a} \end{eqnarray}$ Über die b) habe ich noch nicht nachgedacht. Das ist schon ne Weile her als ich das zum letzten Mal gemacht habe... Patrick
17.12.2005, 19:12	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ist a keiner deiner ausgeschlossenen werte, so ist die eindeutige lösung (x1,x2,x3) schnittpunkt aller 3 ebenen. ist a=-2 oder a=-6 gilt: der affine unterraum "eine gefundene lösung"+"lösungsraum des homogenen LGS" liefert dir dein schnittgebilde dies kann leer sein, wenn es keine basislösung gibt, dieser ist eine gerade, wenn dein lösungsraum des hom. lgs eindimensional ist etc. natürlich auch der spezialfall eindeutigkeit passt: basislösung+ nullraum liefert dir dann dein lösungsgebilde "punkt"
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