Ebenengleichung

20.04.2004, 21:08	indigo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichung Hi! Ich stehe vor einem Problem : ich muss die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen, die jeweils durch drei Punkte definiert sind. Wie lautet die Gleichung der Ebene durch P1, P2, P3? Thx for the help, h
20.04.2004, 21:17	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} E: \(\array{x\\y\\z}\) = \vec{P_1} + s \cdot (\vec{P_2} - \vec{P_1}) + t \cdot (\vec{P_3} - \vec{P_1}) \end{align}$ so kannst du eine Ebene darstellen... mfg
20.04.2004, 21:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Ebenengleichung aufzustellen, gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten: 1. Möglichkeit Da P1,P2,P3 in E liegen, kann man aus diesen drei Punkten zwei Richtungsvektoren der Ebene bestimmen. Wenn ihr im Unterricht das Kreuzprodukt von Vektoren behandelt habt, so kannst du jetzt das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren als Normalenvektor der Ebene nehmen. (Hinweis: Oft kann man einfachere Koordinaten erhalten, wenn man den Normalenvektor verkürzt.) Jetzt kannst du die vektorielle Normalenform und daraus die Koordinatenform der Ebene ermitteln. Wenn ihr das Kreuzprodukt nicht durchgenommen habt, so kannst du den Normalenvektor über das Skalarprodukt erhalten. Er muß ja auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen. 2. Möglichkeit Eine ganz andere Möglichkeit ergibt sich, wenn man die Ebene gleich in Koordinatenform ansetzt: $\begin{align} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4 \ =\ 0 \end{align}$ Für die x'e kann man jetzt die Koordinaten der drei Punkte einsetzen. Man erhält drei lineare Gleichungen in den vier unbekannten Koeffizienten a1,a2,a3,a4, also ein LGS vom Typ (3,4). Dieses kann man z.B. mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Die Lösung ist nicht eindeutig bestimmt (da man ja jede Ebenengleichung mit einer beliebigen Zahl ungleich 0 durchmultiplizieren kann).
20.04.2004, 21:26	indigo	Auf diesen Beitrag antworten »
Werd ich gleich mal durchprobieren. Thx, h :]

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