beweis einer ungleichung

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bluemchen Auf diesen Beitrag antworten »
beweis einer ungleichung
ich weiss, dass f stetig differenzierbar ist und die ableitung monoton achsend ist.

ich muss nun zeigen, dass


ich weiss, dass ich dazu irgendwie einen mittelwertsatz anwenden muss, ich hab jedoch keine ahnung wie ich das anstellen sollte. kann mir vielleicht jemand helfen? vielen dank.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Ungleichung bedeutet, dass konvex ist. Sie ist ein Spezialfall der sogenannten Jensenschen Ungleichung.
Nimm o.B.d.A. an. Die Ungleichung ist äquivalent zu

.

Wende nun auf die beiden Seiten den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an.

Gruß MSS
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

Wende nun auf die beiden Seiten den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an.

Gruß MSS


Wieso ? die zu beweisende Aussage steht doch schon da ! ??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@schnudl

MSS hat nur die Behauptung äquivalent umgeformt, sie also noch nicht bewiesen! Das in der umgeformten Ungleichung ist also noch nachzuweisen mit eben jenem Mittelwertsatz, wobei du die vorausgesetzte Monotonie der Ableitung verwenden kannst.
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin stillschweigend von f´ > 0 im Intervall ausgegangen. Dafür wäre die Ungleichung schon durch hinschreiben evident.

War Klo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

f' > 0 ist aber definitiv nicht vorausgesetzt. Und selbst wenn das so wäre: Das Evidenz-Argument würde ich als Professor/Lehrer auch in diesem Fall nicht als Beweis anerkennen.
 
 
bluemchen Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für all eure beiträge.
ich weiss nun trotzdem nicht ganz wie ich das umsetzen soll.
der mittelwertsatz ist doch

für z aus ]x,y[
oder?
was muss ich nun machen, steh etwas auf dem schlauch.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Mittelwertsatz sagt, dass für eine auf stetige und auf differenzierbare Funktion ein existiert, sodass



gilt. Wende dies auf die beiden Seiten jeweils an, einmal mit und , das andere mal mit und .

Gruß MSS
bluemchen Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mathespezialschüler. vielen dank für deine hilfe.
ich hab dies nun mal versucht:



erhalte ich, wenn ich und a=x setze.

wenn ich nun b=y und auf der anderen seite einsetze erhalte ich genau dasselbe, ich weiss nun jedoch nicht was ich damit tun soll.
schnudl Auf diesen Beitrag antworten »

so ganz "das gleiche" kannst ja nicht bekommen, da f' ja an einer anderen Stelle ausgewertet wird. Einmal zwischen x und (x+y)/2, dann zwischen (x+y)/2 und y.

Wie verhalten sich diese beiden y' aufgrund der Angabe?
bluemchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ihr meint, da f' monoton wachsend ist, kann nun nicht an beiden orten dasselbe sein und daraus folgt dann die ungleichung.
aber wieso seh ich dann, dass kleiner gleich und nicht grösser gleich gilt?


vielen dank für eure geduld.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bluemchen
achso, ihr meint, da f' monoton wachsend ist, kann nun nicht an beiden orten dasselbe sein

Nein. Nicht deswegen. Dass es an beiden nicht das Gleiche sein kann, das ist von Anfang an klar! Einmal muss die Stelle im Intervall liegen, das andere mal in . Also, um es mal ordentlich auszuschreiben:
Es gibt also ein und ein , sodass gilt:



und

.

Dann hast du also

.

Jetzt kannst du durch teilen (wegen ) und erhältst eine wahre Aussage (warum??). Das war natürlich jetzt nur die eine Richtung. Du musst das ganze etwas umkehren.

Gruß MSS
bluemchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habs mir nun mal ordentlich aufgeschrieben und verstehs nun auch endlich smile vielen dank euch allen
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