Aufgabe bez. nilpotenz von Matrizen

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Aufgabe bez. nilpotenz von Matrizen
Hallo, mal wieder ich Tanzen

Also ich habe folgende Aufgabe bereits zum Teil gelöst, weiß aber jetzt an einer Stelle nicht mehr weiter unglücklich

Sei K ein Körper. Seien (Menge aller quad. n kreuz n Matrizen, mit Koeffizienten in K) mit und sei A nilpotent. Beweisen sie:

I. AB ist nilpotent
II. ist nilpotent ist nilpotent
III. ist invertierbar und es gilt (Wobei )

(Anmerkung zu II: Sei R ein Ring und mit so gilt

Aufgabeteil I und III habe ich (so denke ich) erfolgreich gelöst, aber zu II fällt mir partout nichts ein, außer den Tip zu benutzten:


Ich bin mir sicher, jetzt muss ich benutzten, das A bereits nilpotent ist, aber ich sehe nicht wie mir das weiter hilft.

Die Umgekehrte Inklusion wenn A und B nilpotent sind, dann ist auch A + B nilpotent denke ich ist wieder recht simpel ...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

*verschoben*
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Sei m die kleinste Zahl so dass und n die kleinste so dass .





Jetzt die Nilpotenz von A benutzen:





Den Rest musst du allein machen smile
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ups srz wegen dem Fehlpost, vergessen, das ich grad im Analysis Forum am surfen war Klo

Okey, soweit so gut, aber ich weiß erlich nicht, wie es dann weiter gehen soll, ich habe jetzt das durch die Binomische Formel ersetzt, und die Faktoren in die Summe gezogen, jetzt weiß ich leider aber auch nicht mehr weiter unglücklich
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Echt nicht? Naja, wegen der Nilpotenz von A werden alle außer ein Summand gleich null.
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, steht ja dann da noch:

Ich weiß da n ja sonst nicht die kleinste Zahl ...

Das Problem ist aber doch jetzt, bei Matrizen kann ich doch nicht sagen, wenn dann gilt oder , oder ist das hier ein Sonderfall?

Dann hab ich da doch noch eine Frage zu Teil II, dass kann eigentlich ja nur falsch sein:
Setzte

Und E ist ja invertierbar bzw.

Darf ich das so machen?
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst noch benutzen das es höchstens ein X gibt so dass ist.
Oder anders ausgedrückt .
Das X kennst du aber schon, X = A.
Tja, und wenn jetzt dann ist B nilpotent.
Und wenn nicht? Augenzwinkern

Aso zu III.
Du kannst o.B.d.A annehmen das A=-A'.
Und du kannst auch einfach E-A mit dem Ausdruck multiplizieren um zu schauen ob E rauskommt.
Aber wie kommst du auf dieses Invers? In der Summe müssten alternierende Vorzeichen stehen.
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, genau da (III, Teil 2) liegt mein Problem, ich weiß nämlich nicht wieso

Also wie ich das zeige unglücklich
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst du nicht zeigen. Du nimmst einfach an das es stimmt.
Wenn du dann zeigen kannst heißt das das die Annahme richtig war.
(Nur das Invers kann diese Gleichung erfüllen.)
Und das ein Invers existiert bedeutet nichts anderes als das A+E invertierbar ist.
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend dank Mit Zunge
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bins nochmal, eine Frage zum letzten Teil, am Ende hat man ja dann:

[Ausmultipliziert, ]

So am ende muss ich ja darauf kommen, dass das ganze ist, ist auch klar, dh. mit gehe ich jetzt mal davon aus, es müssen sich alle Terme der Summe bis auf i = 0 irgendwie vegkürzen/vergfallen.
Für i = n-1 fällt ja weg, mehr seh ich da leider aber nicht mehr, ggf. noch einen kleinen Tip? smile
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, i geht bei 1 los nicht bei 0.



Jetzt machst du ne kleine Indexverschiebung und alles wird gut.
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Das wundert mich jetzt etwas, wieso fängt das bei 1 an, weil auf meinem Zettel steht von i=1 bis ... (und dann haben wir noch natürlich def.)

Wegen der Indexversch., bei der ersten Summe, würde ich die m-1 rausziehen und erhalte:


(Ich bin mir jetzt nämlich nicht sicher, das m ist "das m aus der nilpotenz von A" oder?)

Aber was mache ich mit der Zweiten Summe, hm? Ich glaube ich brauche einen größeren Wink, eher sowas wie ein Laternenmast Mit Zunge
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Na sag ich doch, von i=1 bis m-1. So steht es oben.






Ok da müsste E rauskommen also irgenwie steht oben was falsches.
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler, ich sehe grade, das ich oben den Index falsch gesetzt habe, deswegen eben auch meine dumme Frage ^^

Es muss nat. lauten:


Also von i=0 bis ... nicht von i=1 bis ... Tut mir wirklich Leid, dabei dachte ich, ich hätte extra gut aufgepasst Schläfer
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh macht nix, also nochmal:




Ok diesmal klappt es.
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