komplexe zahlen, lösungsverfahren

20.04.2004, 23:36	Ingvalion	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe zahlen, lösungsverfahren ich habe hier folgende aufgabenstellung: $\begin{align} (z)^6 \end{align}$ $\begin{align} z= \sqrt{3}-i \end{align}$ Ich würde nun anfange zu rechnen in dem ich stück für stück... $\begin{align} (\sqrt{3}-i) \cdot (\sqrt{3}-i) \end{align}$ .... berechne aber das ist auch nicht das wahre um die Aufgabe effektiv zu lösen. Ist es möglich den Binomischen Satz anzuwenden (bzw. Pascalsches zahlendreieck) oder ist das bei komplexen zahlen nicht möglich? ------------ Und was ist der Hauptwert bei der komplexen Zahl: $\begin{align} ln z \end{align}$ $\begin{align} z=-27 \end{align}$ Ich weis da nicht, was da gefordert sein soll
21.04.2004, 00:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Zahlen 1. Der Große Binomische Lehrsatz gilt in jedem kommutativen Ring, also auch in C. Du kannst also bedenkenlos pascallen. 2. Im Komplexen ist der Logarithmus eine mehrdeutige Funktion: $\begin{align} log\ z \ = \ ln\|z\| \ + \ i \ arg \ z \end{align}$ arg z ist der Winkel, den der Strahl von 0 durch z zur positiven reellen Achse einnimmt. arg z ist daher nur modulo 2pi bestimmbar. Vom Hauptwert jedoch spricht man, falls man sich für den Bereich $\begin{align} -\pi \ < \ arg \ z \ < \ \pi \end{align}$ entscheidet.
21.04.2004, 12:07	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
-27? Schau noch mal nach ob das nicht ein Schreibfehler ist. Fuer diese Zahl existiert kein Hauptwert.
21.04.2004, 13:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem strengen Sinn ist das richtig. Denn als Definitionsbereich holomorpher Funktionen möchte man ein (größtmögliches) Gebiet der komplexen Zahlenebene. Für den Hauptwert des Logarithmus hat man die längs der negativen reellen Achse aufgeschlitzte Zahlenebene, also $\begin{align} -\pi \ < \ arg \ z \ <\ \pi \end{align}$ Größer geht's nicht, weil sonst die Stetigkeit, erst recht also die Holomorphie von log z, verloren geht. Dennoch könnte es sein, daß in der Vorlesung das obere oder untere Ufer des Schnitts mit hinzugenommen wurde, um auch für die Logarithmen negativer reeller Zahlen einen eindeutig bestimmten Wert zu bekommen - also ein Hauptwert in einem etwas laxeren Sinn.
21.04.2004, 16:00	Ingvalion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Aufgabe ist shcon ganz richtig, zudem war es eine Klausur Aufgabe gewesen. Also wenn ich dich nun richtig verstanden Habe so rechne ich für k ist der Hauptwert null, also k=0. (a=realteil; (b=imaginärteil) der Winkel "fi" ist auch null und ergibt sich aus $\begin{align} arctan\frac{b}{a} \end{align}$ $\begin{align} arctan\frac{0}{-27} \end{align}$ Lösung ist dann: $\begin{align} ln(\sqrt{-27^2})+i("fi" \pm 2\pi \cdot k) \end{align}$ $\begin{align} ln(\sqrt{-27^2})+i(0 \pm 2\pi \cdot 0) \end{align}$ das argument ist dann null für den Hauptwert Richtig?
21.04.2004, 17:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Logarithmen Du rechnest sehr formal und auch nicht ganz richtig. 1. Die -27 unter der Wurzel ist einzuklammern. 2. Die arctan-Formel zur Bestimmung von arg z funktioniert nur, wenn z im I. oder IV. Quadranten liegt. Aber ich würde auch gar nicht so rechnen, sondern mit dem gesunden Menschenverstand an die Sache herangehen: a) \|-27\| = ... (da braucht man doch keine Wurzel dafür!) b) arg(-27) = Winkel zwischen i) der positiven reellen Achse und ii) der negativen reellen Achse (denn -27 liegt auf ii)) - und der ist doch nicht 0 oder 2pi!
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21.04.2004, 22:55	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Logarithmen Zu deiner ersten Aufgabe: einfach den Ausdruck in Polarkoordinaten umwandeln. Dann in die Formel einsetzen: $\begin{align} z^n = r^n(cos(nfi)+isin(nfi)) \end{align}$ und einfach nur noch ausrechnen.
21.04.2004, 23:24	Ingvalion	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich muss doch ein Ergebnis mit rechnung vorlegen in der Klausur, ich denke schon das da die formale schreibweise verlangt ist. $\begin{align} \|-27\| \end{align}$ und $\begin{align} ln(\sqrt{(-27)^2}) \end{align}$ ist doch das selbe nur in unterschiedlicher Schreibweise. Und wenn der Hauptwert, so wie ich es verstanden habe, den bereich zwischen $\begin{align} -\pi < arg z < \pi \end{align}$ ist dann gehört ja 2Pi nicht in diesen Zahlenbereich?! Und wie sieht denn dann der lösungsweg - formal für den 3. und 4. quadranten aus? ich kann es im augenblick einfach nicht bildlich nachvollziehen wie es ausschauen soll damit, zudem ich mit Logarithmus schon immer meine Vorstellungsschwierigkeiten hatte. ähm der punkt zwischen positiver reeler und negativer reeler achse ist doch für mich der punkt null - soweit und wo minus 27 an der negativen reelen achse liegt kann ich mir auch noch vorstellen, allerdings ist dann doch kein winkel? Mit dem denkansatz komm ich im augenblick nicht weiter.

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