Analytische Geometrie - Dreieck (geändert)

18.12.2005, 15:24

mathejones

Analytische Geometrie - Dreieck (geändert)

Guten Tag.
Ich soll die höhe eines Dreiecks ermitteln.
Gegeben sind 3 Punkte A(1 | 0 |1) , B(2|0|1) und C(4|-1|3).

Ich hab einen Ansatz gefunden, jedoch erscheint mir dieser "falsch".

Ich hab zuerst eine Geradengleichung erstellt die orthogonal auf dem Punkt B steht. Dazu den Punkt B als Aufpunkt gewählt und das Kreuzprodukt AxB als richtungsvektor:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich eine Hilfsebene erstellt die wie folgt aussieht:
$\begin{eqnarray*} e: \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot (\vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Nun hab ich den Lotfußpunkt L errechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot( [ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}] - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} ) \Rightarrow \lambda_L = -1 \end{eqnarray*}$

Somit konnte ich auch $\begin{eqnarray*} \vec{l} \end{eqnarray*}$ errechnen in dem ich -1 für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in die Geradengleichung einsetze.

$\begin{eqnarray*} \vec{l} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Folglich die Höhe des Dreiecks:

$\begin{eqnarray*} d(PL) = |\vec{l} - \vec{c}|= \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

so das wäre mein vorschlag!
ist da nun nen denkfehler drinne oder doch ok?

18.12.2005, 19:10

hxh

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Du stellst die Gerade durch A,B auf. Dann Hilfsebene durch den Pukt C mit NOrmalenvektor der Gerade durch AB. NUn Schnittpunkt HIlfebene Gerade A,B ergibt den Lotfupunkt. Abstand Lotfußpunkt C ergibt die Höhe.

Deine Vorgehen ist zu kompliziert bzw. auch falsch, denk noch mal drüber nach und versuch mal das zu machen was ich geschrieben habe.

18.12.2005, 19:16

Poff

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.. oder

Berechne die Fläche und dividiere durch |AB|/2

19.12.2005, 16:45

riwe

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manches sollte man aber doch besser ausschreiben: den titel finde ich nicht besonders appetitlich!
werner

19.12.2005, 17:36

Abakus

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So ein Dreieck hat 3 Höhen. Zuerst müsste man wissen, welche Höhe berechnet werden soll.

Ansonsten besser einfach vorgehen und die Länge von 2 Seiten und die Größe des eingeschlossenen Winkels berechnen. Von da an ist es zur Höhe nur noch ein kleiner Schritt.

19.12.2005, 18:30

riwe

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deine idee ist schon prinzipiell richtig, nur hast du dir die falsche(n) ebene (und gerade) ausgesucht. du mußt die ebene wählen, in der das dreieck liegt. $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\vec{BA} \times \vec{BC} \end{eqnarray*}$ und nun bildest du $\begin{eqnarray*} \vec{h_b}=\vec{n} \times \vec{AC} \end{eqnarray*}$ .
nun kannst du die gerade durch AC, die also b enthält, mit der geraden "h_b" schneiden und das ergibt die gesuchte höhe $\begin{eqnarray*} h_b=\frac{\sqrt{70}}{14} \end{eqnarray*}$
so ich richtig gerechnet habe.
werner

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{a} \times \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$ soll allerdings auch ganz nützlich sein

19.12.2005, 19:53

JochenX

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Zitat:

Original von wernerrin
manches sollte man aber doch besser ausschreiben: den titel finde ich nicht besonders appetitlich!
werner

habs mal geändert, extra für dich, werner

Titel geändert

19.12.2005, 20:03

riwe

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jochen, ich danke dir!
werner
(weils wahr ist)

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