Produkträume

18.12.2005, 21:02

smalldiver

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Hallo Leute!

Ich weiß nicht ob die meine Lösung der folgenden Aufgabe Korrekt ist. Wäre jemand so nett und guckt sich das mal an und sagt mir ob es richtig ist oder was daran falsch ist?

Aufgabe:

Gegeben seien zwei W-Räume $\begin{eqnarray*} P(Ergebnismenge 1, P1 ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(Em 2, P2 ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid Em 1 \mid = m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid Em 2 \mid = n \end{eqnarray*}$ Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} P:P(EM1 \times EM2) \Rightarrow R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P (A\times B) := \sum_{a \in A ,b \in B } ^.~P (\{ A\})\cdot P(\{ B\}) \end{eqnarray*}$
ist eine W-Funktion auf $\begin{eqnarray*} (EM1 \times EM2) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (EM1 \times EM2),P \end{eqnarray*}$ ist ein W-Raum.

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{a\in A}^.~P (\{a\}) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} P(B) = \sum_{b\in B}^.~P (\{b\}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A) \cdot P(B) = \sum_{a\in A}^.~P (\{a\}) \cdot \sum_{b\in B}^.~P (\{b\}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A) \times P(B) = \sum_{a\in A,b\in B}^.~P (\{a\}) \cdot P (\{b\}) \end{eqnarray*}$

22.12.2005, 10:21

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Also worum geht es: Um das Produkt zweier endlicher Wahrscheinlichkeitsräume

Die Aufgabenstellung macht in ihrer formalen Darstellung allerdings einen katastrophalen Eindruck auf mich, da du ein und dasselbe Symbol $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ für vier (!) verschiedene Dinge benutzt: Drei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsmaße und das Potenzmengensymbol. Meinst du also nicht eher sowas:

Zitat:

Gegeben seien zwei endliche W-Räume $\begin{eqnarray*} (\Omega_1,\wp(\Omega_1),P_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\Omega_2,\wp(\Omega_2),P_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\Omega_1| = m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\Omega_2| = n \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} P: \wp(\Omega_1)\otimes \wp(\Omega_2) \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A\times B) := \sum_{a\in A,\, b\in B } ~ P_1(\{a\}) \cdot P_2(\{b\}) \end{eqnarray*}$

ist ein W-Maß auf $\begin{eqnarray*} (\Omega_1\times \Omega_2,\wp(\Omega_1)\otimes \wp(\Omega_2)) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (\Omega_1\times \Omega_2,\wp(\Omega_1)\otimes \wp(\Omega_2),P) \end{eqnarray*}$ ist ein W-Raum.

Dabei bezeichne $\begin{eqnarray*} \wp(M) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\otimes \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ die von den Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ erzeugte Produkt-Sigma-Algebra, d.h.

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\otimes \mathcal{B} := \sigma \left( \left\{ A\times B \bigm| A\in\mathcal{A},\; B\in\mathcal{B} \right\} \right) \end{eqnarray*}$

Etwas Ordnung bei den Grundbegriffen muss schließlich sein.

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