mal wieder: vollständige Induktion

18.12.2005, 21:06

rainbow

mal wieder: vollständige Induktion

Hab mal wieder eine Aufgabe zur Induktion. Bin etwas daran verzweifelt.
Ich hab noch nicht mal nen Ansatz unglücklich

Ich kapier überhaupt nicht was das sein soll.
In der VL ist immer alles so einfach, aber die Aufgaben dann.. *grummel*

$\begin{eqnarray*} g^{(n)} (x) = \sum_{k=1}^n~a_{n,k}f^{(k)} (e^x) e^{kx} \end{eqnarray*}$

Okay, erst mal: mit dem Exponent, der in Klammern steht, ist damit die Ableitung gemeint?

Ansonsten: Ich hab den Beweis für k=1 probiert, aber noch nicht mal das hingekriegt.

Weitere Angaben zur Aufgabe waren, dass f beliebig oft differenzierbar ist und g(x) = f(e^x) ist, außerdem stand noch da, dass die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n+1,1}, ...., a_{n+1,k+1} \end{eqnarray*}$ durch die Koeff. $\begin{eqnarray*} a_{n,1}, ..., a_{n,k} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt werden sollen.

Kann mir jmd helfen? bitte!!

liebe Grüße!
rainbow

18.12.2005, 21:39

Mathespezialschüler

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Ist zu den $\begin{eqnarray*} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ nicht mehr gesagt? Wie die aussehen sollen oder so? Sollen das einfach nur Konstanten sein und man soll beweisen, dass es solche gibt?
Wenn ja, dann ist der Induktionsschritt doch nicht schwierig. Du musst doch nur $\begin{eqnarray*} g^{(n)} \end{eqnarray*}$ ableiten. Beachte die Summen- und Produktregel.

Gruß MSS

18.12.2005, 21:55

rainbow

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Danke für deine Antwort!

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ist zu den $\begin{eqnarray*} a_{n,k} \end{eqnarray*}$ nicht mehr gesagt? Wie die aussehen sollen oder so? Sollen das einfach nur Konstanten sein und man soll beweisen, dass es solche gibt?
Wenn ja, dann ist der Induktionsschritt doch nicht schwierig. Du musst doch nur $\begin{eqnarray*} g^{(n)} \end{eqnarray*}$ ableiten. Beachte die Summen- und Produktregel.

Gruß MSS

Wieso muss ich das ableiten?
Okay, ich hab dann da $\begin{eqnarray*} e^x * f'(e^x) \end{eqnarray*}$
Aber was jetzt.... *verwirrt*

Und was sagt mit dieses $\begin{eqnarray*} a_{1,1}, a_{1,2}... \end{eqnarray*}$ damit kann ich gar nix anfangen...

lg!

ps: nee,mehr ist zu der Aufgabe nicht gesagt...

18.12.2005, 22:27

Mathespezialschüler

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Die Aufgabe soll wahrscheinlich so heißen:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbar und $\begin{eqnarray*} g(x):=f(\operatorname e^x) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{n,1},\ldots ,a_{n,n} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x)=\sum_{k=1}^n~a_{n,k}f^{(k)}(x)\operatorname e^{kx} \end{eqnarray*}$

gilt. Also, erstmal Induktion ansetzen. Der Induktionsanfang dürfte nicht so schwierig sein. Für den Induktionsschritt musst du, wie gesagt,

$\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x)=\sum_{k=1}^n~a_{n,k}f^{(k)}(x)\operatorname e^{kx} \end{eqnarray*}$

ableiten.

Gruß MSS

18.12.2005, 22:54

rainbow

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Ableiten, das würde heißen dass ich dann da im Induktionsschritt n+1 stehen habe..

Aber ich denke eher, ich muss zeigen, dass das für alle k gilt, oder?
Dh. k+1 schreiben...

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
[...] Zeige, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{n,1},\ldots ,a_{n,n} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass ..[...]

Das steht in meiner Aufgabe nicht.....

och manno... ich bin echt gerad am Verzweifeln!!
Ist das echt so einfach???

lg

18.12.2005, 23:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von rainbow
Aber ich denke eher, ich muss zeigen, dass das für alle k gilt, oder?
Dh. k+1 schreiben...

Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? Dir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} g^{(n)} \end{eqnarray*}$ durch eine Summe beschrieben wird und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur der Laufindex ist?

Gruß MSS

18.12.2005, 23:21

rainbow

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ah ich bin doof.
Entschuldigung, du hast natürlich Recht.
(Okay eigentlich war klar, dass du Recht hast, formulieren wir es anders: Ich habe auch endlich begriffen wieso *g*)

Okay
Also für den Induktionsanfang steht dann da $\begin{eqnarray*} g^{(1)} (x) = a_{1,1} f^{(1)} * (e^x) e^x \end{eqnarray*}$
Aber inwiefern hab ich damit einen Beweis geliefert?
g(1) (x) sollte ja, da $\begin{eqnarray*} g(x) = f(e^x) \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} f^{(1)} * (e^x) e^x \end{eqnarray*}$ sein.

Also sollte ich irgendwie zeigen dass $\begin{eqnarray*} a_{1,1} = 0 \end{eqnarray*}$ ist??!! Wie komme ich denn darauf?

18.12.2005, 23:34

Mathespezialschüler

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Nein, es ist $\begin{eqnarray*} a_{1,1}=1 \end{eqnarray*}$ . Darauf sollst du nicht kommen, du sollst nur zeigen, dass es ein solches $\begin{eqnarray*} a_{1,1} \end{eqnarray*}$ gibt und das machst du einfach durch die Festsetzung

$\begin{eqnarray*} a_{1,1}:=1 \end{eqnarray*}$ .

Im Übrigen solltest du $\begin{eqnarray*} f^{(1)}(\operatorname e^x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f^{(1)}*(\operatorname e^x) \end{eqnarray*}$ schreiben! Letzteres ist nicht sinnvoll.

Gruß MSS

19.12.2005, 00:02

rainbow

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natürlich 1.. sorry ich bin echt schon voll fertig

das andere ist auch logisch.. geht ja da um die Ableitung, klar.

So,werds jetzt noch mal probieren

.. so jetzt häng ich an

$\begin{eqnarray*} g^{(n+1)} (x) = \sum_{k=1}^n~a_{n,k} (e^x * f^{(k+1)} (e^x) * e^{kx} + f^{(k)} (e^x) * k * e^{kx}) \end{eqnarray*}$

Das sollte ja jetzt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~a_{n+1,k} f^{(k)} (e^x) e^{kx} \end{eqnarray*}$ sein...

wie kann ich das ineinander überführen?

19.12.2005, 00:15

Mathespezialschüler

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Indem du zwei Summen draus machst (ausmultiplizieren!) und den Index verschiebst.

Gruß MSS

19.12.2005, 00:23

rainbow

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Was meinst du mit "Index verschieben" ?

19.12.2005, 08:55

klarsoweit

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Nun zieh das doch erstmal in 2 Summen auseinander. Dann läßt du bei der 1. Summe den Index von k=2 bis n+1 laufen. Im Summenterm muß der Laufindex k natürlich entsprechend angepaßt werden.

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