substitution

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19.12.2005, 14:42

speedyschmidt

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substitution

Integral(1+4x²)dx

was muss ich substituieren

19.12.2005, 14:44

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x = \frac{t}{2} \end{eqnarray*}$ führt auf ein Grundintegral. Die Idee dahinter: den Faktor 4 wegbringen.

Edit: Ich sehe gerade, daß ich da einen Bruch hineininterpretiert habe, obwohl da beim Fragesteller gar keiner steht. Was dann allerdings die Frage mit der Substitution soll, ist mir gänzlich unklar.

19.12.2005, 14:45

JochenX

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gar nix

$\begin{eqnarray*} \int~(1+4x^2)~dx=\int~1~dx+\int~4x^2~dx \end{eqnarray*}$

edit fehlt da ein 1/...?

19.12.2005, 14:45

klarsoweit

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RE: substitution
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1+4x^2~dx \end{eqnarray*}$ ?
Geht ohne Substitution.

19.12.2005, 14:49

speedyschmidt

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tschuldigung meinte

Integral(1+4x²)^0,5 dx

19.12.2005, 14:52

Leopold

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Das ist natürlich etwas ganz anderes. Hier lohnt sich die Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \sinh{t} \end{eqnarray*}$

unter Ausnutzung der Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} \cosh^2{t} - \sinh^2{t} = 1 \end{eqnarray*}$

19.12.2005, 14:53

JochenX

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dann vollführe leos substitution und denke danach an trigonometrische funktionen (oder die hyperbolicusfunktionen) und die tigonometrische eins bei deiner zweiten substitution

mfg jochen

edit: zu spät, geht natürlich auch gleich in einer substitution, ich hätte es in zwei schritten gemacht

19.12.2005, 15:32

speedyschmidt

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müsste auch ohne hyperbolikusfunktion klappen

ist LK 12 hatten wir noch nicht

________zusammengefügt von jochen________

gehts ohne hyperbolikusfunktion nicht?????

19.12.2005, 16:21

JochenX

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gehts ohne geduld nicht?
was soll dieses ungeduldige gepushe deines threads?

also mir vergeht bei solchen verhalten jede lust, zu helfen
lies dir erst mal das boardprinzip durch unglücklich

19.12.2005, 16:31

Lazarus

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klar gehts auch ohne hyberboloidische funktionen.

z.b. mit $\begin{eqnarray*} 4+\frac{1}{x^2} = u^2 \end{eqnarray*}$ dann subtituieren, oder mit $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{1+4x^2}-2x \end{eqnarray*}$ .

und wenns unbedingt trigonometrische funktionen sein sollen, dann versuch doch mal $\begin{eqnarray*} x = \frac{\tan{u}}{2} \end{eqnarray*}$

servus

19.12.2005, 16:56

speedyschmidt

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Zitat:

Original von LOED
gehts ohne geduld nicht?
was soll dieses ungeduldige gepushe deines threads?

also mir vergeht bei solchen verhalten jede lust, zu helfen
lies dir erst mal das boardprinzip durch unglücklich

hab dir nichts getan
wollte meinen thread auch nicht pushen

ist mir nur im nachhinein eingefallen

da hatte ich keinen bock auf zusammenfügen

______jochen: jetzt nutz halt den editknopf_________
__________zusammengefügt________

Zitat:

Original von Lazarus

und wenns unbedingt trigonometrische funktionen sein sollen, dann versuch doch mal $\begin{eqnarray*} x = \frac{\tan{u}}{2} \end{eqnarray*}$

servus

da komm ich doch auf (cosx)hoch -3

19.12.2005, 17:07

JochenX

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dann wirst du eben diesen "bock" nächstes mal haben
genau für solche fälle ist nämlich das editieren gedacht und dann wäre ich auch nie auf die idee gekommen, dass du pushen willst

ich werde das jetzt zusammenfügen und das ist unnötige arbeit für mich

halte dich lieber an die regeln, "kein bock" zählt da nicht, immerhin willst du ja auch nicht, dass wir "keinen bock" haben, dir zu helfen

gruß
(der etwas aufgebrachte) jochen

19.12.2005, 17:13

Leopold

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Es geht auch ohne die hyperbolischen Funktionen, aber das ist nicht unbedingt einfacher.

Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{x^2 + 1}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert. Setzt man

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right) \ \mbox{mit} \ t \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

so ist diese Beziehung eineindeutig und damit eine erlaubte Substitution. Man rechnet

$\begin{eqnarray*} x^2 + 1 = \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 \right) + 1 = \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{t} \right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \ \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \end{eqnarray*}$

Ferner ist

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right) \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} \text{(1),(2)} \end{eqnarray*}$ kannst du den Integranden als Summe von Potenzen $\begin{eqnarray*} t^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=-3,-1,1 \end{eqnarray*}$ schreiben. Und bei der Rücksubstitution beachte

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \left( t^2 - \frac{1}{t^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right) \cdot \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) = \frac{1}{2} x \sqrt{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$

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