lineares Differentialgleichungssystem

19.12.2005, 19:48	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
lineares Differentialgleichungssystem ich habe mal eine frage zu einem lösungsweg. folgendes system sei gegeben: $\begin{eqnarray} y1'=y2; y2'=-y1 \end{eqnarray}$ dies wird in eine lineare dgl 2. ordnung überführt: $\begin{eqnarray} y1''+y1=0 \end{eqnarray}$ deren charakteristisches polynom die lösungen $\begin{eqnarray} r1=i, r2=-i \end{eqnarray}$ liefert. und jetzt kommt der schritt, den ich nicht nachvollziehen kann, denn die beiden basislösungen werden mit $\begin{eqnarray} z1=\begin{pmatrix} cos x \\ -sin x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z2=\begin{pmatrix} sinx \\ cos x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ angegeben. wie kommt man darauf? ich kenn nur den ansatz: $\begin{eqnarray} y=e^{\alpha x}(c1 cos\beta x+c2 sin \beta x) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha=0, \beta=1 \end{eqnarray}$ ist (aufgrund des char polynoms)??? also $\begin{eqnarray} y=c1 cos x+c2 sin x \end{eqnarray}$
19.12.2005, 21:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar ist $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ die Vektorschreibweise der ursprünglichen Systemkomponenten, d.h., $\begin{eqnarray} z = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Für die erste Komponente hast du nun die eindimensionale DGL gelöst, mit den Basislösungen $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin x \end{eqnarray}$ . Über $\begin{eqnarray} y_2=y_1' \end{eqnarray}$ ergibt sich jetzt automatisch die zweite Komponente.
19.12.2005, 21:39	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke hier an die Eulersche Formel: $\begin{eqnarray} e^{it} = cos(t) + isin(t) \end{eqnarray*}$ Wenn du die Formel benutzt und es geschickt zusammenfasst, kommst du von deinen e-Funktionen mit -it und +it als Exponenten zu einem (sin, cos)-System.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »