Beweis einer Ungleichung

19.12.2005, 20:12

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis einer Ungleichung

Hallo Freunde des feinen Sinnes,

Ich möchte eine Ungleichung benutzen, von der ich nicht genau weiß, ob sie richtig ist. Die Proben, die ich berechnet habe, stimmen, nur leider fällt mir kein Beweis ein, der die Sache endgültig festigt. Die Ungleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} \mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid\leq\sqrt{\mid x-y\mid} \end{eqnarray*}$

Danke vorab.

Greez

Simon

19.12.2005, 20:51

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hatte mich zuerst vertippt:

Es ist ja
$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\leq\sqrt{\left|x-y\right|} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\sqrt{\left|x-y\right|}\leq\left|x-y\right| \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \left|x-y\right|\sqrt{\left|x-y\right|}\leq\left|x-y\right||\sqrt{x}+\sqrt{y}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left|x-y\right|}\leq|\sqrt{x}+\sqrt{y}| \end{eqnarray*}$

Jetzt quadrieren

19.12.2005, 21:00

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön. Das genügt für meine Lösung, doch das Untenstehende hat seinen Reiz noch nicht verloren...

19.12.2005, 21:03

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Ungleichung ist richtig. Man kann eine sehr viel allgemeinere Ungleichung beweisen, nämlich: Für alle reellen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq p\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a+b|^p\leq (|a|+|b|)^p\leq |a|^p+|b|^p \end{eqnarray*}$ .

Versuche einmal, diese Ungleichung zu beweisen. Unterscheide dazu zwei Fälle:

1. $\begin{eqnarray*} |a+b|=0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} |a+b|>0 \end{eqnarray*}$ .

Bei 2. kannst du die Ungleichung durch $\begin{eqnarray*} (|a|+|b|)^p \end{eqnarray*}$ teilen. Definiere dann $\begin{eqnarray*} u:=\frac{|a|}{|a|+|b|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v:=\frac{|b|}{|a|+|b|} \end{eqnarray*}$ und versuche, damit die Behauptung

$\begin{eqnarray*} 1\leq u^p+v^p \end{eqnarray*}$

zu beweisen.
Aus der obigen Ungleichung folgt für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ und wiederum für $\begin{eqnarray*} 0\leq p\leq 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left||x|^p-|y|^p\right|\leq |x-y|^p \end{eqnarray*}$ .

Kannst du auch begründen, warum?

Gruß MSS

19.12.2005, 21:59

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bis hierhin bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \mid 1+\frac{b}{a}\mid^{p} \leq 1+\mid\frac{b}{a}\mid^{p} \end{eqnarray*}$

aber wie weiter ?

Fallunterscheidung ?

19.12.2005, 22:54

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis einer Ungleichung
habe ich da irgendetwas nicht mitbekommen?

Zitat:

Original von glocke
Ich möchte eine Ungleichung benutzen, von der ich nicht genau weiß, ob sie richtig ist. Die Proben, die ich berechnet habe, stimmen, nur leider fällt mir kein Beweis ein, der die Sache endgültig festigt. Die Ungleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} \mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid\leq\sqrt{\mid x-y\mid} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Frookes Antwort
Sorry, hatte mich zuerst vertippt:

Es ist ja
$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\leq\sqrt{\left|x-y\right|} \end{eqnarray*}$

Also
[...]

hallo frooke, fängt dein post wirklich damit an, dass du glockes ungleichung mit "es ist ja...." einfach als wahr annimmst?
und daraus dann irgendwas folgerst?

oder was ist da passiert, was ich wieder mal nicht verstehe?

Anzeige

19.12.2005, 23:10

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis einer Ungleichung
man kann aber auch

$\begin{eqnarray*} \mid x-y \mid \leq \mid x+2\sqrt{xy}+y \mid \end{eqnarray*}$

(was offensichtlich richtig ist für x,y > 0 und x != y)

hernehmen, Frooke´s Argumentationskette rückwärts durchlaufen und kommt zum gewünschten Ergebnis. So steht es bei mir auf dem Papier.

Greez

Simon

19.12.2005, 23:48

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von glocke
Also bis hierhin bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \mid 1+\frac{b}{a}\mid^{p} \leq 1+\mid\frac{b}{a}\mid^{p} \end{eqnarray*}$

Du hast aber schon gelesen, was ich geschrieben habe oder? Du sollst nicht durch $\begin{eqnarray*} |a|^p \end{eqnarray*}$ , sondern durch $\begin{eqnarray*} |a+b|^p \end{eqnarray*}$ teilen!

Gruß MSS

20.12.2005, 00:04

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

\\edit: hab mich verschaut..sorry
nehm alles zurück, is wohl doch schon zu spät

20.12.2005, 00:38

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: mist !!! alles Falsch GRRRR

@MSS
gib mir bitte noch einen hinweis

20.12.2005, 10:12

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED: Hätte ich den Konjunktiv wählen müssen...

20.12.2005, 11:44

gargyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Vieleicht sollte man zuerst klären welche Vorausetztungen es gibt.

Da aus X und Y die Wurzel gezogen wird muss man da wohl einschränkungen machen.
Ausserdem kann man ja unterscheiden
a. x>y
b. x=y(Trivial)
c. x<y

21.12.2005, 19:46

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Ungleichung oben noch ein wenig verfeinert. Es bleibt folgende Ungleichung zu beweisen, wobei wir hier nur den 2. Fall behandeln:

$\begin{eqnarray*} (|a|+|b|)^p\leq |a|^p+|b|^p \end{eqnarray*}$

gilt. Dafür kannst du einfach durch $\begin{eqnarray*} (|a|+|b|)^p \end{eqnarray*}$ teilen!

$\begin{eqnarray*} 1\leq \left(\frac{|a|}{|a|+|b|}\right)^p+\left(\frac{|b|}{|a|+|b|}\right)^p \end{eqnarray*}$ .

Mit den oben definierten $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ (die ich auch noch einmal ein wenig geändert habe) lautet die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 1\leq u^p+v^p \end{eqnarray*}$ .

Beachte nun, dass $\begin{eqnarray*} u+v=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 0\leq u,v\leq 1 \end{eqnarray*}$ gelten und benutze noch die Monotonie der Exponentialfunktion.

Gruß MSS

21.12.2005, 20:00

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischenstand:

I: |a+b|=0
=>
0=|a|^p + |b|^p (r)

II:

...

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \mid u \mid^{p} + \mid v\mid^{p} \end{eqnarray*}$ Das ist zu zeigen.

mit

$\begin{eqnarray*} u:=\frac{a}{a+b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v:=\frac{b}{a+b} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir nun:

$\begin{eqnarray*} \mid u\mid =\mid \frac{a}{a+b}\mid = \mid \frac{(a+b)-b}{a+b} \mid \geq 1-\mid v \mid \end{eqnarray*}$ (Dreiecksungleichung)

Daraus folgt unmittelbar:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \mid u \mid + \mid v\mid \end{eqnarray*}$

Ist u >=1 oder v >= 1 so ist die zu zeigende Gleichung richtig, denn die p-wurzeln sind ebenfalls >= 1.

Sind u<1 und v<1 so gilt:

$\begin{eqnarray*} \mid u \mid^{p} +\mid v \mid^{p} \geq \mid u \mid + \mid v \mid \geq 1 \end{eqnarray*}$

womit der erste teil gezeigt sein sollte.

Greez

Simon

P.S
Hab´ Deine "Verfeinerung" gerade erst gelesen. Für einen Hinweis für zum zweiten Beweis wäre ich dennoch dankbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.P.S
Habe meine Definitionen jetzt ebenfalls modifiziert, der Beweis sollte jetzt verständlich sein (und hoffentlich richtig).

21.12.2005, 20:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe anfangs einen Fehler gemacht, sorry. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sind jetzt etwas anders. Damit solltest du es nochmal probieren.

Gruß MSS

21.12.2005, 20:14

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Beitrag ist editiert

Greez
Simon

21.12.2005, 20:42

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, nun hast du aber nicht viel verändert. Deine $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ sind andere als meine und deine Folgerungen sind auch nicht so eindeutig nachvollziehbar.

Gruß MSS

21.12.2005, 20:49

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Sind dennoch richtig. Was verstehst Du nicht ?

Wie steht es denn jetzt mit dem zweiten Teil ?

Warum folgt

$\begin{eqnarray*} \mid a-b \mid^{p}\geq \mid \mid a \mid^{p}-\mid b \mid^{p} \mid \end{eqnarray*}$

aus der ersten Ungleichung ?

Greez

Simon

21.12.2005, 21:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du meinst ... . Ich hätte es so gemacht: Wegen $\begin{eqnarray*} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq u,v\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} u\leq u^p \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v\leq v^p \end{eqnarray*}$ ,

also:

$\begin{eqnarray*} u+v=1\leq u^p+v^p \end{eqnarray*}$ ,

was zu zeigen war. Die nächste Ungleichung folgt genau so, wie man $\begin{eqnarray*} |a-b|\geq ||a|-|b|| \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} |a+b|\leq |a|+|b| \end{eqnarray*}$ folgert.

Gruß MSS

21.12.2005, 21:10

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon zig mal probiert. Ist irgendwie der Wurm drin...zeig mal bitte

Greez

Simon

21.12.2005, 21:13

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es doch oben sogar schon selbst gemacht. Schreibe einfach $\begin{eqnarray*} a=(a-b)+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=(b-a)+a \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

21.12.2005, 21:16

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wie bekomme ich die Betragsstriche um den kleineren Term ?

Greez

Simon

21.12.2005, 21:42

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} |a|^p=|(a-b)+b|^p\leq \ldots \end{eqnarray*}$ .

Enstprechend nochmal für die andere Gleichung.

Gruß MSS

21.12.2005, 21:53

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Geschafft !!!

Besten Dank für den SUPPORT !!!

Greez & Luck

Simon

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »