Umkehrung der Kettenregel (Substitution)

20.12.2005, 17:15

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Umkehrung der Kettenregel (Substitution)

Ich komme bei den folgenden Aufgaben nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{x^3}{1-x^2} \end{eqnarray*}$
Da hab ich den Nenner durch z ersetzt => $\begin{eqnarray*} z=1-x^2 \end{eqnarray*}$
Weiter haben wir das heute so beigebracht bekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=-2x => dx=\frac{dz}{-2x} \end{eqnarray*}$
Sub.: $\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^3}{z}*~\frac{dz}{-2x} \end{eqnarray*}$
Weiter komm ich nun net...Soll ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern??
Oder hab ich doch das falsche substituiert?
Man muss ja irgendwie immer erkennen, was man substituiert, die lehrerin meinte immer die innere Funktion, und die innere Funktion ist doch der Nenner oder? verwirrt

verwirrt

Hilfe

Habe das erst heute gelernt, deswegen komme ich net so ganz klar damit...

Erst mal die Aufgabe, dann schreibe ich die nächste smile

smile

20.12.2005, 17:16

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst ein x wegkürzen...
danach musst du die substitutionsvorschrift nach x auflösen und das x^2 ersetzen...
mfG 20

20.12.2005, 17:22

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

So?
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2}{z}~ \frac{dz}{-2} \end{eqnarray*}$

ich weiß nicht, wie du das mit x auflösen und dann das x^2 ersetzen meinst unglücklich

unglücklich

20.12.2005, 17:24

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig.

die substitutionsvorschrift u=1-x^2 nach x^2 auslösen, dann x^2 ersetzen...
mfG 20

PS: Normalerweise muss man die nach x auflösen und alle x'e, die noch vorkommen ersetzen... hier steht aber nur noch ein x^2, also musst du nur das ersetzen...

20.12.2005, 17:31

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das so richtig?
$\begin{eqnarray*} -\frac {1}{2}*(ln(1-x^2)-x) \end{eqnarray*}$

20.12.2005, 17:34

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ist ein fehler drin...
denke beim integrieren daran, das 1 integriert z ergibt.
beim rücksubstituieren ersetzt du alle z durch 1-x^2

mfG 20

Anzeige

20.12.2005, 17:52

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

ok so?
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*(ln(1-x^2)-(1-x^2)) \end{eqnarray*}$

20.12.2005, 22:34

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Nächste Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+e^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=1+e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=e^x => dx=\frac{dz}{e^x} \end{eqnarray*}$
Sub.: $\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{z}*~ \frac{dz}{e^x} \end{eqnarray*}$
Und nun? verwirrt

verwirrt

20.12.2005, 22:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip richtig, ich hätte aber vor der Substitution noch ein Kamel eingeschoben:
$\begin{eqnarray*} \int ~\frac{1}{1+e^x}~dx = \int ~\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int ~(1 - \frac{e^x}{1+e^x})~dx \end{eqnarray*}$
Nun das Integral auseinander ziehen und dann hebt sich bei der Substitution das e^x weg.

20.12.2005, 22:47

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

wie kommst du auf sowas?
verstehe ich net unglücklich

unglücklich

20.12.2005, 22:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Intuition. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Von mir aus kannst du in deiner Rechung das e^x durch einen Ausdruck mit z (siehe deine Substitution) ersetzen.

20.12.2005, 22:54

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

also soll ich meine substitutionsvorschrift nach e^x auflösen oder was meinst du ? verwirrt

verwirrt

so ?? $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z} *~ \frac{dz}{z-1} \end{eqnarray*}$
hier weiß ich aber auch net was ich weiter machen soll, wenn es überhaupt richtig ist....

20.12.2005, 23:08

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht schon gut aus. Jetzt z.B. Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z*(z-1)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z} \end{eqnarray*}$

20.12.2005, 23:11

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Partialbruchzerlegung?? Davon habe ich bis jetzt noch nie was gehört.
Ich hab noch 4 andere aufgaben, bei denen ich auch net weiter komme, weil ich net weiß wie man das bei solchen komplizierten blöden aufgaben das macht.
Oh jee traurig

traurig

20.12.2005, 23:19

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut. Teste mal A = 1 und B = -1 aus. Klappt das? Und dann natürlich noch integrieren.

20.12.2005, 23:23

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Erklär mir erstmal, wieso das so ist,was das ist, wie das geht, und ich kapier gerade gar nichts.

20.12.2005, 23:42

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du A und B nicht kennst in diesem Fall, multipliziere mit dem Hauptnenner und stelle ein Gleichungssystem auf. Hier kommst du etwa auf:

$\begin{eqnarray*} 1 = A * z + B * (z - 1) = (A + B) * z - B \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt rechts und links vergleichst, siehst du A = -B und B = -1.
Das wäre dieser spezielle Fall.

Allgemein kannst du jedes Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in ein Produkt aus Linearfaktoren und Polynome zweiten Grades zerlegen (Das bedeutet deine Faktoren sind Polynome mit reellen Koeffizienten).

Wenn du also eine gebrochen rationale Funktion hast und das Nennerpolynom in ein solches Produkt zerlegt hast, kannst du mittels Partialbruchzerlegung (PBZ) deine gebrochen rationale Funktion ggf. als Summe aus gebrochen rationalen Funktionen mit Nennerpolynomen darstellen, die lediglich den Grad 1 oder 2 haben.

Solche gebrochen rationalen Funktionen kannst du u.a. mit ln oder arctan als Stammfunktionen integrieren.

EDIT: umfangreicher erklärt hier: Partialbruchzerlegung

21.12.2005, 12:02

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zoey
ok so?
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*(ln(1-x^2)-(1-x^2)) \end{eqnarray*}$

das ist leider falsch...

hmm... wenn ihr partialbruchzerlegung noch nicht hattet, dann müssten die aufgaben anders zu lösen sein.
Wenn du es so machst, wie Klarsoweit, dann brauchst du sie nicht...
mfG 20

21.12.2005, 13:59

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich glaube ich lass das lieber.
Danke für eure Hilfe

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »