Allgemeine Herleitung der Ableitung eines Polynoms

20.12.2005, 18:10

Crock

Allgemeine Herleitung der Ableitung eines Polynoms

Hi.
Wir fangen jetzt endlich in der Schule an mit Ableitungen und ich hab, gelangweilt wie ich war, mal fuer mich versucht, die Ableitungsregel fuer beliebige Polynome herzuleiten.
Leider haenge ich an einer Stelle und wuerde deshalb gerne von euch wissen, ob der Ansatz ueberhaupt richtig ist (und wenn ja, wie's weitergeht) Los gehts:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a\cdot{}x^n \end{eqnarray*}$
Das allgemeine Polynom beliebigen Grades. Ich muss es ja auf grund der Grenzwertsaetze nicht ganz ausfuehren (mit $\begin{eqnarray*} +b\cdot{}x^{\left(n-1\right)}\hdots{} \end{eqnarray*}$ ).
$\begin{eqnarray*} m_f(x)= \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x\rightarrow{}x_0}\frac{a\cdot{}x^n-a\cdot{}x_0^n}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}\frac{a\left(x^n-x_0^n\right)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}a\cdot{}\frac{\left(10^{x}\right)^n-\left(10^{x_0}\right)^n}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}a\cdot{}\frac{10^{x\cdot{}n}-10^{x_0\cdot{}n}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}a\cdot{}\frac{\log (x) \cdot{} n-\log (x_0) \cdot{} n}{\log (x-x_0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}a\cdot{}\frac{n\cdot{}\left(\log (x)-\log (x_0)\right)}{\log (x-x_0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}a\cdot{}n\cdot{}\frac{\log (x) -\log (x_0)}{\log (x-x_0)} \end{eqnarray*}$

Und was nun? Wie bekomm ich den Bruch weg, so dass ich dann $\begin{eqnarray*} x = x_0 \end{eqnarray*}$ setzen kann?

20.12.2005, 18:24

-felix-

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Ich weis nicht, ob du mit deinem Logarithmenansatz weiterkommst (ich sehe jedenfalls nicht, wie, das heißt aber nichts). Weiterbringen tut dich aber der binomische Satz: Für alle $\begin{eqnarray*} x,h \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} (x+h)^n={n \choose 0} x^n + {n \choose 1} x^{n-1} h+ {n \choose 2} x^{n-2} h^2 + {n \choose 3} x^{n-2} h^3 + \ldots + {n \choose n}h^n \end{eqnarray*}$ (Beweis: vollständige Induktion)
Weiterhin würde ich den Beweis nur für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ führen und dann noch beweisen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=a\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitung $\begin{eqnarray*} g'(x)=a\cdot f'(x) \end{eqnarray*}$ hat. Dass kannst du dann auch bei nichtganzrationalen Funktionen benutzen.

20.12.2005, 19:36

Lazarus

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du wirst mit dem logarithmus nicht nur nicht weiterkommen, es ist sogar absolut falsch!

$\begin{eqnarray*} x^n \neq 10^{x \cdot n} \neq n\cdot \log{x} \end{eqnarray*}$

also bitte

20.12.2005, 20:03

Crock

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DAS hab ich auch nicht geschrieben.
Ich schrieb:
$\begin{eqnarray*} x^n=\left(10^{\log (x)}\right)^n=10^{\log (x)\cdot{}n} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} = \frac{\log x}{\log y} \end{eqnarray*}$
und deshalb
kann ich im Bruch einfach die Logarithmen setzen.

21.12.2005, 00:29

Lazarus

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1) DAS hast du nicht geschrieben, sondern das hier:

Zitat:

[...]
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}\frac{a\left(x^n-x_0^n\right)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow{}x_0}a\cdot{}\frac{\left(10^{x}\right)^n-\left(10^{x_0}\right)^n}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
[...]

2) nach der verbesserung grad, ist immernoch das untere falsch.
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \neq \frac{\log x}{\log y} \end{eqnarray*}$
such dir doch bitte selbst ein gegenbeispiel mit zahlen.

aber so kommste dann eh ned weiter, weil wenn du am schluss x=x_0 setzten würdest, bekämst du im argument des logarithmus 0 raus, wo der log ja nicht definiert ist.

also nochmal: es geht normalerweise über den binomischen lehrsatz

servus

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