Formel folgern

07.05.2008, 09:44

Dewy

Formel folgern

Guten Tag an alle!

Ich brauche Hilfe zur folgenden Aufgabe

Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ sei symmetrisch positiv definit. Bekanntlich gilt

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| \le \sqrt{a_{ii}a_{jj}} \le \frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj}) \forall i,j \in \{ 1,..,n\} \end{eqnarray*}$

Folgern Sie: $\begin{eqnarray*} max_{i,j=1,...,n} |a_{ij}| = max_{i=1,...,n} |a_{ii}| > 0 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe das nicht, ich habe versucht

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}^2| \le \sqrt{a_{ii}a_{jj}}^2 \le \frac{1}{2^2}(a_{ii}+a_{jj})^2 \forall i,j \in \{ 1,..,n\} \end{eqnarray*}$

Das habe ich versucht, aufzulösen, aber beim Versuch bleibt es auch, da kommt leider nichts sinnvolles heraus.

Grüße
Dewy

07.05.2008, 09:52

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Offensichtlich ist doch

$\begin{eqnarray*} a_{ii} \leq \max\limits_{k=1,\ldots,n} a_{kk} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{jj} \leq \max\limits_{k=1,\ldots,n} a_{kk} \end{eqnarray*}$ ,

wende das doch einfach rechts in

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| \leq \frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj}) \end{eqnarray*}$

für eine weitere Abschätzung nach oben an.

07.05.2008, 10:34

Dewy

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Danke Arthur Dent, ich habe da mal ein bisschen weiter gerechnet

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| \leq \frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| \leq \frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj}) \le 0,5 (max_{k=1,..,n} a_{kk} + max_{k=1,\ldots,n} a_{kk}) = 0,5 (2max(a_{kk})) = max_{k=1,...,n}(a_{kk}) \end{eqnarray*}$

Das sieht doch schon besser aus

Aber wie genau schließe ich jetzt auf Gleichheit?

Grüße
Dewy

07.05.2008, 10:38

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Zitat:

Original von Dewy
Aber wie genau schließe ich jetzt auf Gleichheit?

Links sind speziell auch alle Fälle $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ dabei...

07.05.2008, 11:07

Dewy

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Häää?
Und was mache ich jetzt?

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| \leq max_{i,j = 1,..,n }(a_{ij}) \le max_{i,j = 1,..,n \ ; \ i \not = j} (a_{ij}) + max_{k=1,...,n}(a_{kk}) \le max_{k=1,...,n}(a_{kk}) \end{eqnarray*}$

07.05.2008, 11:10

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Jetzt ist es wohl an mir zu sagen: Häää?

Erklär mal, was du da gerade treibst. Ich sehe die Aufgabe eigentlich als beendet an.

07.05.2008, 11:32

Dewy

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Jetzt ist es wohl an mir zu sagen: Häää?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Erklär mal, was du da gerade treibst. Ich sehe die Aufgabe eigentlich als beendet an.

Ich hatte doch folgendes umgeformt
$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| \leq \frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj}) \le 0,5 (max_{k=1,..,n} a_{kk} + max_{k=1,\ldots,n} a_{kk}) = 0,5 (2max(a_{kk})) = max_{k=1,...,n}(a_{kk}) \end{eqnarray*}$
und da meintest du

Zitat:

Links sind speziell auch alle Fälle $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ dabei...

Ich sehe da aber nicht, dass daraus die Behauptung

$\begin{eqnarray*} max_{i,j=1,...,n} |a_{ij}| = max_{i=1,...,n} |a_{ii}| > 0 \end{eqnarray*}$

folgt.
Oder ergab sich die Behauptung genau aus deiner Abschätzung
$\begin{eqnarray*} a_{ii} \leq \max\limits_{k=1,\ldots,n} a_{kk} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{jj} \leq \max\limits_{k=1,\ldots,n} a_{kk} \end{eqnarray*}$ ,

Ich kanns nicht so gut erklären, aber an welcher Stelle ich nun erkenne, dass die Aufgabe gelöst ist, sehe ich einfach nicht.
Deswegen habe ich ja weitergerechnet

07.05.2008, 11:35

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$\begin{eqnarray*} \max\limits_{i=1,\ldots,n} a_{ii} \end{eqnarray*}$ ist das Maximum der Diagonalenelemente der Matrix, während $\begin{eqnarray*} \max\limits_{i,j=1,\ldots,n} |a_{ij}| \end{eqnarray*}$ das Maximum der Beträge aller Matrixelemente ist - da sind speziell auch alle Diagonalenelemente dabei. Also wird natürlich Gleichheit erreicht, nämlich bei dem maximalen Diagonalenelement.

Du vergräbst dich in Formalismen und verlierst total den Blick für das Wesentliche der Struktur.

07.05.2008, 11:49

Dewy

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Ich hatte gerade diesen AHA Effekt Idee!

Vielen Dank dafür

Grüße
Dewy

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