Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung

07.05.2008, 15:17

Gast92

Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung

Ich soll die Sachaufgabe in eine quadratische Gleichung umstellen.
Die Aufgabe lautet:

Der Nenner eines Bruches ist um zwei größer als der Zähler. Addiert man zum Zähler 7 und subtrahiert vom Nenner 6, so wird der Bruch sechsmal so groß.
Welcher Bruch ist es? (Zähler und Nenner sollen natürliche Zahlen sein)

Ich weis nicht, wie ich anfangen soll. verwirrt

Wenn ich es in eine quadratische Gleichung umswandeln soll, muss ja x2 und auf einer Seite =0 dastehen, aber wo soll ich das hinschreiben????

07.05.2008, 15:20

Dual Space

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RE: Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Gut dann zeige ich dir den Anfang.

Zitat:

Original von Gast92
Der Nenner eines Bruches ist um zwei größer als der Zähler.

bedeutet, dass der Bruch die Gestalt $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+2} \end{eqnarray*}$ hat. Das x ist noch unbekannt. Nun mach mal weiter.

07.05.2008, 15:31

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Von der Seite hab ich es noch gar nicht gesehen. Wie soll ich denn weiter machen. Irgendwie hab ich gerade kein Plan.
Ich dachte vielleicht (x+7)+(y-6)=...

Brauch ich das in der Formel, dass der Nenner um zwei größer ist?

07.05.2008, 15:36

Dual Space

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RE: Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung

Zitat:

Original von Gast92
Addiert man zum Zähler 7 und subtrahiert vom Nenner 6, so wird der Bruch sechsmal so groß.

lässt sich schreiben als

$\begin{eqnarray*} 6\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x+7}{(x+2)-6} \end{eqnarray*}$

So nun ermittle den Wert für x.

07.05.2008, 15:56

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Wie soll ich x ausrechnen?
Ich dachte, weil es eine quadratische Gleichung ist, muss vorne irgendwie x2 stehen und auf einer Seite immer =0 ?
(z.B. die Normalform x2+px+q=0 )

Vielleicht mach ich es mir selber zu kompliziert?!

07.05.2008, 16:13

TheWitch

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Eine quadratische Gleichung ist (verkürzt gesagt) eine Gleichung, die man umformen kann zu einer Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei a nicht gleich null sein darf. Sie muss also nicht notwendigerweise von vornherein diese Form haben. Und deine Gleichung kann man umformen: Fasse zunächst zusammen und multipliziere dann mit dem Hauptnenner (oder "über Kreuz").

07.05.2008, 18:09

Mathegreis

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RE: Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung

Zitat:

Original von Gast92
Wie soll ich x ausrechnen?

Du musst jetzt den zweiten Nenner vereinfachen, anschließend die Nenner beseitigen und danach die Gleichung so vereinfachen, dass die Form entsteht, die TheWitch angegeben hat.
Danach kannst Du daraus die Normalform erstellen und die Gleichung lösen; entweder mit der Formel oder mit Hilfe der quadratischen Ergänzung - entsprechend wie Du es gelernt hast.

Gruß

07.05.2008, 20:38

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Wie kann ich denn den Nenner vereinfachen und beseitigen?

Vielleicht die (x+2)-6 zusammenfassen?

07.05.2008, 20:45

catweazle

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Lies dir mal die beiden Antworten genau durch und denke nach. Oder schau' dir deine Frage nochmal an und denke nach.

07.05.2008, 20:59

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Mit den Brüchen komm ich irgendwie nicht zurecht. In der Schule hab ich die Beispielaufgabe ja verstanden, aber die war auch anders.
Kann man meine Aufgabe nicht anders lösen?

(Vielleicht sollte ich einfach bis zur nächsten Mathestunde warten... Tränen

)

07.05.2008, 21:07

catweazle

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Um den Umgang mit Bruechen kommst Du nicht herum.
Aber zuerst musst Du ja vereinfachen, also vereinfache doch erstmal (x+2)-6

Danach schreibst Du die Gleichung so, dass links und rechts je ein Bruch steht.

Dann gehst Du daran, die ungeliebten Brueche zu eliminieren, indem Du (z.B.) sowohl die linke als auch die rechte Seite mit dem Hauptnenner multiplizierst. Bitte im Zaehler den Ausdruck erstmal als Produkt stehenlassen.

Mach' das mal.

07.05.2008, 21:11

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Kommt da x- 4 hin?

Und was ist bei mir jetzt der Hauptnenner?

07.05.2008, 21:30

catweazle

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Genau, damit hast Du auf der einen Seite $\begin{eqnarray*} \frac{6x}{x+2} \end{eqnarray*}$ und auf der
anderen Seite $\begin{eqnarray*} \frac{x+7}{x-4} \end{eqnarray*}$
Der Hauptnenner waere nun das Produkt der beiden Nenner, das waere also? (du bist dran!)

Natuerlich geht es auch kuerzer, aber ich denke, bei Dir fehlen erstmal die Grundlagen. Darf ich fragen, in welche Klasse Du gehst? Ich tippe ja auf 9.Klasse, da ist das Wissen in solchen elementaren Dingen meist katastrophal.

07.05.2008, 21:57

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Ja, 9.Klasse.
Ich verstehe dieses Schuljahr irgendwie wenig... Die letzten Schuljahre ging es eigentlich.
Das Produkt ist 4, oder?

07.05.2008, 22:05

catweazle

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Die neunte Klasse verknuepft nacheinander die einzelnen Inhalte der Vorjahre. Ich rate Dir dringend, an Deinen Mathekenntnissen zu arbeiten. Das Grundwissen (also grundlegende Rechenkenntnisse) muessen sitzen, sonst hast Du wenig Chancen sehr viel weiter zu kommen.

4 ist natuerlich nicht richtig. Das Produkt beider Nenner ist $\begin{eqnarray*} (x+2)\cdot (x-4) \end{eqnarray*}$
Also wirklich einfach die vorkommenden Nenner multiplizieren (aber bitte nicht ausrechnen).
Jetzt multiplizierst Du den Zaehler jeder Seite der Gleichung mit dem Hauptnenner.
Das solltest Du schon koennen.

07.05.2008, 22:13

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Aber wie soll ich das multiplizieren, wenn doch x dasteht. Es sind doch keine Zahlen da.
Wie soll ich $\begin{eqnarray*} 6x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+7 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-4 \end{eqnarray*}$ multiplizieren?
Tut mir leid dass ich so schwer von Begriff bin.

07.05.2008, 22:25

catweazle

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War vielleicht etwas falsch ausgedrueckt. Eine bessere Formulierung waere: als Produkt schreiben.

Den Zaehler jeder einzelnen Seite der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren, also z.B. den Zaehler der linken Seite als Produkt der Terme 6x, (x+2) und (x-4) schreiben.
Die linke Seite muss also folgendermassen lauten:
$\begin{eqnarray*} \frac{6x\cdot (x+2)\cdot (x-4) }{(x+2)} \end{eqnarray*}$

Wie lautet wohl die rechte Seite?

07.05.2008, 22:35

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{x+7 (x-4) x+2}{(x-4)} \end{eqnarray*}$

07.05.2008, 22:41

catweazle

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Aber bitte die Klammern richtig setzen! Das ist ein Produkt von drei Termen!
Um den Ausdruck x+7 muss eine Klammer und um den Ausdruck x+2

So jetzt schaust Du Dir diese beiden Brueche scharf an, ueberlegst kurz, was kuerzen heisst und fuehrst das durch.

07.05.2008, 22:46

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Muss ich da immer das, was in der Klammer steht als eins betrachten? Oder kann ich es auseinandernehmen?
Ich würde die $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-4 \end{eqnarray*}$ kürzen. Dann steht ja noch $\begin{eqnarray*} 6x \end{eqnarray*}$ auf der einen Seite und $\begin{eqnarray*} (x+7) \end{eqnarray*}$ auf der anderen.

07.05.2008, 22:56

catweazle

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RE: Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung

Zitat:

Original von Gast92
Muss ich da immer das, was in der Klammer steht als eins betrachten?

Das muss als zusammengehoerender Term betrachtet werden.

Richtig, auf der linken Seite im Zaehler den Term (x+2) gegen den Term (x+2) des Nenners kuerzen, dann hast Du keinen Bruch mehr auf der linken Seite. Allerdings bleibt nicht nur 6x uebrig, sondern 6x * (x-4) !
Aehnliches machst Du auf der rechten Seite.

07.05.2008, 23:00

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Also kürze ich rechts $\begin{eqnarray*} x-4 \end{eqnarray*}$ im Zähler mit $\begin{eqnarray*} x-4 \end{eqnarray*}$ im Nenner. Übrig bleibt also:

$\begin{eqnarray*} 6x (x-4)=(x+7) (x+2) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

07.05.2008, 23:08

catweazle

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Genau!
Jetzt sind die Brueche weg, du kannst die Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen, alles auf eine Seite bringen, damit Du die uebliche Darstellung hast, und erhaeltst eine quadratische Gleichung.

Die kannst Du dann (hoffentlich) loesen. Dazu verwendest Du entweder die Mitternachtsformel, den Satz von Vieta, quadratische Ergaenzung oder was Du sonst kannst.

07.05.2008, 23:17

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Da muss ich doch irgendwie das in der Klammer auf der rechten Seite mit der anderen Klammer multiplizieren, oder?
Auf alle Fälle gefällt mir das jetzt schon besser. Da kann ich ja die Lösungsformel verwenden. SUPER!
Kann es sein, das rechts steht:
$\begin{eqnarray*} = 2x 14 \end{eqnarray*}$

07.05.2008, 23:23

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Ach ne, rechts steht:
$\begin{eqnarray*} = x2+7 x+2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Das gleiche muss ich auch rechts machen, ne?

07.05.2008, 23:31

catweazle

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Oh je, ausmultiplizieren von Termen solltest Du natuerlich beherrschen.
(x+7)*(x+2) wird ausmultipliziert, indem du jedes mit jedem multiplizierst und dann zusammenfasst.
Also (x mal x) plus (x mal 2) plus (7 mal x) plus (2 mal 7)
auf der rechten Seite. Frag jetzt bloss nicht, was x mal x ist.
Diesen Ausdruck richtig zusammenfassen.
Aehnliches links.

07.05.2008, 23:39

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Also steht jetzt:

6x (x-4)= x2+2x+7x+14
und das kann man zusammenfassen:
6x (x-4)= x2+ 9x+14

ich getrau mich gar nicht zu fragen ob das stimmt...

07.05.2008, 23:47

catweazle

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x mal x ist immer noch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und nicht x2.
Sonst stimmt's. Jetzt noch die linke Seite ausmultiplizieren.

07.05.2008, 23:53

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Steht da

$\begin{eqnarray*} 6x^2+24x= x^2 +9x+14 \end{eqnarray*}$

07.05.2008, 23:56

catweazle

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Ja, das ist richtig. Jetzt alles auf eine Seite bringen, dann hast Du Deine quadratische Gleichung.

08.05.2008, 00:05

Gast92

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Sachaufgaben zur quadratischen Gleichung
Steht dann zum Schluss da

$\begin{eqnarray*} x^2+4x=0 \end{eqnarray*}$ ???
Das geht ne, oder?
Ich glaub bei der rechten Seite, da habe ich $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ gerechnet, dass das nicht stimmt.

08.05.2008, 00:38

catweazle

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Halt! Da habe ich auch nicht richtig aufgepasst. Auf der linken Seite musst Du natuerlich -24x haben schliesslich multiplizierst Du 6x und (-4).

Aber ganz ehrlich: Du brauchst dringend qualifizierte geduldige Nachhilfe und den Willen, Deine Mathekenntnisse zu verbessern. Wie hast Du es nur so weit geschafft?

Wie kommst Du auf Deinen Vorschlag? Der ist so daneben, dass ich nicht einmal ahnen kann, was Du gerechnet hast.

Solltest Du morgen Schule haben, dann waere es auch Zeit fuer Dich, ins Bett zu gehen. Rechnen und richtig denken kann man nur, wenn man ausgeschlafen ist.

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