e-Funktion integrieren

20.12.2005, 21:14

Effe-X²

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e-Funktion integrieren

moin moin,

ich hänge gerade vor ner aufgabe und komm da nicht weiter...

wir haben die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(x²-t)e^x² \end{eqnarray*}$
Nullstellen sind ja bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{t} \end{eqnarray*}$ und Extrempunkte bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{t-1} \end{eqnarray*}$ , sowie x=o!

ich weis beim integrieren jetzt nicht mehr weiter, das x² bringt mich da durcheinander.

und über die 1. Ableitung komm ich auch nicht hinaus. [ $\begin{eqnarray*} f(x)=2xe^x²(1+(x²-t)) \end{eqnarray*}$ ]

wäre echt cool, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet Prost

Prost

danke schonmal

20.12.2005, 22:04

derkoch

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RE: e-Funktion integrieren
wir haben die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2-t)e^{x^2} \end{eqnarray*}$

Nullstellen sind ja bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{t} \end{eqnarray*}$

und Extrempunkte bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{t-1} \end{eqnarray*}$ , sowie x=o!

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2xe^{x^2}(1+(x^2-t)) \end{eqnarray*}$

soll das in etwa so aussehen? hab versuch es zu entziffern!

20.12.2005, 23:00

Effe-X²

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ja genau,

hab das mit dem x² im Exponenten nicht hinbekommen...
bei der 1. Ableitung müsste aber noch (x²-t) in der Klammer stehen

20.12.2005, 23:48

bil

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Zitat:

Original von Effe-X²
bei der 1. Ableitung müsste aber noch (x²-t) in der Klammer stehen

richtig, statt x muss ein x² da stehen.

gruss bil

edit... sehe gerade das es garkeine frage war Augenzwinkern

Augenzwinkern

also vergesst den beitrag smile

smile

21.12.2005, 00:48

Akelei

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Also was suchst du jetzt?!? Das Integral von der e-Funktion?

21.12.2005, 10:55

Effe-X²

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ja, wir sollten die Fläche von der einen Nullstelle bis zur anderen bestimmen. dazu brauch man ja die Stammfunktion und auf die komm ich nicht...hab schon alles möglich probiert aber das haut nicht hin. verwirrt

verwirrt

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21.12.2005, 10:57

xYz

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RE: e-Funktion integrieren

Zitat:

Original von Effe-X²
ich weis beim integrieren jetzt nicht mehr weiter, das x² bringt mich da durcheinander.

Also beim integireren würde ich es mal mit Substituion und anschlie0ßend partiell probieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.12.2005, 11:11

GastSephiroth

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Hallo wenn du veruschen solltest e^(x^2)
zu itegrieren kann ich dir nur sagen, dass es meiner Meinung nach keine Möglichkeit gibt das so direkt zu machen wie man es sonst gewohnt ist.

Gruß Stefan

21.12.2005, 11:15

xYz

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Genau dort kommt die Substitution zum Einsatz Lehrer

Lehrer

verwirrt

21.12.2005, 12:15

20_Cent

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RE: e-Funktion integrieren

Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2-t)e^{x^2} \end{eqnarray*}$

wenn du diese funktion integrieren sollst, dann mach dich auf was gefasst Augenzwinkern

Augenzwinkern

das ergebnis ist äußerst unschön (vielleicht nicht in den augen eines Mathematikers...)
mfG 20

PS: kontrolliere nochmal auf abschreibfehler...

21.12.2005, 19:14

Effe-X²

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danke erstmal!

unsrer lehrer hat sich die aufgabe irgendwie mal schnell ausgedacht und wahrscheinlich nicht weiter darüber nachgedacht. heute haben wir sie zumindest nicht weiter besprochen...

wie ginge das denn mit substitution? müsste man dann für x²=z oder ähnliches schreiben? ham das noch nicht wirklich bezüglich integration gemacht.

23.12.2005, 21:33

xYz

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Dies wäre zumindest meine erste Idee smile

smile

Einfach mal austesten. MfG

23.12.2005, 22:23

n!

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z=x² bringt hier nichts,da man noch den Faktor 1/(2x) im Integral hätte.

Edit: Aber nachdem ich den Integrator bemüht habe,glaube dir,dass der Lehrer das schnell mal ausgedacht hat.Ist eigentlich nicht zu lösen von Schülern behaupte ich mal

24.12.2005, 01:32

Friedrich

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Sorry, falls ich weiter verwirrung stifte, aber IMHO reicht partielle Integration.

wenn ich mich nicht irre ist:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2}}~dx = [\frac{1}{2x} *e^{x^{2}}]_{b}^a \end{eqnarray*}$

und somit:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(x²-t)e^{x^{2}}~dx = [(x²-t)\frac{1}{2x} *e^{x^{2}}]_{b}^a - \int_{b}^{a}~2x*\frac{1}{2x} *e^{x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

im letzten Integral kürzt sich 2x weg und es bleibt nur noch die e Funktion und von daher finde ich das gar nicht mal so unschön

wie gesagt - irrtümer vorbehalten, zumal eben etwas Prost

Prost

^^

24.12.2005, 03:57

20_Cent

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Zitat:

Original von Friedrich
wenn ich mich nicht irre ist:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2}}~dx = [\frac{1}{2x} *e^{x^{2}}]_{b}^a \end{eqnarray*}$

tja, da irrst du aber gewaltig...
Leite das mal ab (Produktregel/Quotientenregel!)
mfG 20

24.12.2005, 09:13

n!

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Das Problem hier ist natürlich,dass Friedrich folgende Formel versucht hat zu verwenden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ce^{mx+b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{m} ce^{mx+b} \end{eqnarray*}$

Das gilt natürlich nur,wenn der Exponent linear ist.Darf man auf keinen Fall für höhere Grade anwenden wie man sieht.

Für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$ gibt es nun mal keine analytisch angebbare Stammfunktion. Die Funktion ist aber dennoch integrierbar,das sollte man auch nicht vergessen.Mit Hilfe numerischer Verfahren oder der Exponentialreihe kann man da was machen

24.12.2005, 14:21

Effe-X²

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So wie Friedrich bin ich auch mal angefangen, hab aber auch gemerkt, dass das nicht hinhaut.

Aber wenn das so kompliziert ist, bin ich ja beruhigt, dass ich das nicht rechenen konnte Big Laugh

Big Laugh

werd mal mein Lehrer nach den Ferien ansprechen, mal gucken ob er das hinbekommt smile

smile

24.12.2005, 15:33

Friedrich

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Tjajo, is mir heute morgen dann auch klar geworden^^

Ich hab dann nochmal versucht da mit der Substitutionsregel was zu machen und ich erhalte auch mal wieder ein schönes Ergebnis und kann diesmal wirklich keinen Fehler entdecken, aber die Stammfunktion, die ich da erhalte gibt abgeleitet nicht e^x^2

vgl.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [e^{x} ]_{a^{2}}^{b^{2}} \end{eqnarray*}$

24.12.2005, 15:48

20_Cent

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poste mal deinen weg, dann können wir dir den fehler sagen...
du siehst ja selbst, dass es falsch ist.
mfG 20

24.12.2005, 16:02

Abakus

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Einen einfachen, "geschlossenen" analytischen Ausdruck für das Integral gibt es nicht. Da hilft auch kein Lehrer oder noch so viele Anwendungen von partieller Integration oder der Substitutionsregel.

Was machbar wäre, ist die Exponentialreihe zu betrachten und gliedweise zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =~\int_{}^{}~\sum_{k=0}^\infty ~\frac{x^{2*k}}{k!} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =~\sum_{k=0}^\infty ~\frac{x^{2*k+1}}{(2k+1)~*~k!} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =~C + x + \frac{x^{3}}{3 * 1!} + \frac{x^{5}}{5 * 2!} + \frac{x^{7}}{7 * 3!} + ... \end{eqnarray*}$

So sieht man zB, dass sich die Stammfunktion für kleine x wie eine Gerade mit Steigung 1 verhält; auch für numerische Auswertungen, Abschätzungen usw. mag diese Darstellung ein Ansatz sein.

25.12.2005, 13:05

Friedrich

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na gut, einigen wir uns einfach darauf, dass der Lehrer $\begin{eqnarray*} (e^x)^{2} \end{eqnarray*}$ meinte ^^

@ 20 cent:
Den Fehler habe ich bereits entdeckt Hammer

Hammer

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