Präsidentschaftswahlen

07.05.2008, 17:03

NatürlicheZahl

Präsidentschaftswahlen

Hallo,

heute morgen lief ich zur Schule und beim Nachdenken über die aktuellen Wahlen in den USA ist mir doch glatt die Frage aufgekommen

wie wahrscheinlich es ist, dass Barack Obama und Hillary Clinton jeweils die gleiche Anzahl an Stimmen bekommen.

Folgendes habe ich mir dazu dann überlegt:

Ich vernachlässige die ganzen Einflussfaktoren, die einen Wähler dazu bewegen für einen Kandidaten seine Stimme abzugeben und gehe der Einfachheit halber davon aus, dass jeder Kandidat, also entweder Obama oder Clinton, eine Chance von 50% hat eine Stimme von den Wählern zu bekommen.
Somit kann man das Experiment als ein Bernoulli-Experiment ansehen mit der Länge von n=303346630 (wieder als Vereinfachung die gesamte US-Bevölkerung), p = 0.5 und k=151673310 (die Hälfte der Stimmen).

Also hat man folgende Bernoulli Kette:
$\begin{eqnarray*} P = \binom{303346630}{151673310} * 0,5^{151673310} * 0,5^{151673310} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich - aufgrund der großen Zahlen - es nicht geschafft, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, würde aber mal gerne wissen, ob dies vom Prinzip her richtig ist Augenzwinkern

Vielen Dank!

P.S.: Vielleicht kann mir ja jemand noch dabei helfen, dies auszurechnen, d.h. mir sagen wie/womit man dies schafft. smile

07.05.2008, 18:00

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Abgesehen von dem kleinen Rechenfehler bei der Berechnung der Häfte - es ist $\begin{eqnarray*} \frac{303346630}{2} = 151673315 \end{eqnarray*}$ - sind die Überlegungen soweit richtig.

Berechnen kannst du das mit eigentlich jedem CAS (=Computer Algebra System), die können mit großen Zahlen umgehen.

---------------------------

Es geht aber auch zu Fuß, indem du für die Fakultäten des Binomialkoeffizienten die Stirlingsche Näherungsformel

$\begin{eqnarray*} n! \approx \sqrt{2\pi n} \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n \end{eqnarray*}$

nutzt - die ist umso genauer, je größer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist. Auf den Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{2k}{k} \end{eqnarray*}$ angewandt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \binom{2k}{k} = \frac{(2k)!}{k!^2} \approx \frac{\sqrt{2\pi 2k} \cdot \left( \frac{2k}{e} \right)^{2k}}{2\pi k \cdot \left( \frac{k}{e} \right)^{2k}} = \frac{1}{\sqrt{\pi k}} \cdot 2^{2k} \end{eqnarray*}$

Angewandt auf $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(2k,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \binom{2k}{k} \cdot \frac{1}{2^{2k}} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi k}} \end{eqnarray*}$ ,

bei dir angewandt auf $\begin{eqnarray*} k=151673315 \end{eqnarray*}$ .

07.05.2008, 18:11

Dunkit

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Also für MATLAB sind die Zahlen schon zu groß, da kommt bei dem Binominalkoeffizienten schon nurnoch "Inf" raus (jedenfalls mit dem .m file, was ich mir gerade runtergeladen hab...)

07.05.2008, 18:16

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Matlab würde ich nicht zu den CAS zählen. Es hat sicher andere Vorzüge beim echt numerischen Rechnen, aber ein CAS ist es nicht.

EDIT: Auf denselben Wert $\begin{eqnarray*} P(X=k) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi k}} \end{eqnarray*}$ kommt man übrigens auch mit der Normalverteilungsapproximation der Binomialverteilung.

07.05.2008, 18:31

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Abgesehen von dem kleinen Rechenfehler bei der Berechnung der Häfte - es ist $\begin{eqnarray*} \frac{303346630}{2} = 151673315 \end{eqnarray*}$ - sind die Überlegungen soweit richtig.

Berechnen kannst du das mit eigentlich jedem CAS (=Computer Algebra System), die können mit großen Zahlen umgehen.

Sorry wegen dem Rechenfehler, hab mich leider vertippt!

Welches Programm wäre denn ein Beispiel für ein solches CAS?

07.05.2008, 18:34

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Ich empfehle die Näherung, nicht CAS. Die ist auch wesentlich lehrreicher als stumpfes Eingetippe. Dein "Rechenfehler" mit der Hälfte war doch tatsächlich ein Ablesefehler vom 8-Zeichen-Display eines TR, stimmt's? Augenzwinkern

07.05.2008, 18:37

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich empfehle die Näherung, nicht CAS. Die ist auch wesentlich lehrreicher als stumpfes Eingetippe.

Okay, könntest du mir vielleicht trotzdem mal so ein Programm empfehlen, rein interessenhalber? smile

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dein "Rechenfehler" mit der Hälfte war doch tatsächlich ein Ablesefehler vom 8-Zeichen-Display eines TR, stimmt's? Augenzwinkern

Ja, dass stimmt Big Laugh

08.05.2008, 09:57

TheWitch

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RE: Präsidentschaftswahlen
(Um ein wenig Bodenhaftung in die Mathematik zu bringen:

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
(...) Bernoulli-Experiment ansehen mit der Länge von n=303346630 (wieder als Vereinfachung die gesamte US-Bevölkerung), (...)

Das ist erheblich zu hoch gegriffen. Erstens ist ganz sicher nicht die gesamte Bevölkerung wahlberechtigt (Kinder nicht, mancherorts aber auch nur Parteimitglieder), zweitens muss man sich zunächst mal registrieren lassen, um überhaupt stimmberechtigt zu sein.

Falls jemand Interesse am Prozedere hat: Vorwahl- bzw. Wahlsystem in den USA)

08.05.2008, 10:20

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Es ist wohl deutlich geworden, dass es NatürlicheZahl nicht um die Zahl der Wähler geht, nicht mal schätzungsweise. Dass er da grob vereinfacht hat, ist ihm durchaus bewusst. Augenzwinkern

08.05.2008, 19:28

NatürlicheZahl

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@ TheWitch:

Die ganzen Faktoren, die du genannt hast sind mir sehr wohl bewusst, jedoch lag es mir eher am Mathematischen, als genaue Zahlen über die Wahlberechtigten in den USA zu haben. Augenzwinkern

Dennoch vielen Dank für den Link zu dem spannenden Artikel über den Vorwahl-Marathon! Freude

Nochmal zum CAD Programm: Welches wäre denn jetzt ein solches, was man empfehlen kann? Big Laugh

09.05.2008, 14:21

NatürlicheZahl

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Ich hab mir noch was überlegt:

Man stelle sich ein Kurssystem der Oberstufe vor, welches - sagen wir - 40 Kurse hat. Wie wahrscheinlich ist es, dass ich 1,2,3...,k Kurse mit einem guten Freund von mir zusammen habe, wenn man - wieder mal - ganz vereinfacht sich überlegt, dass die Wahrscheinlich, dass man in einen von den 40 Kursen kommt für jeden Kurs gleich ist und die Einteilung zufällig erfolgt!

Bernoulli Kette:

E = Ich habe mit meinem Freund einen Kurs zusammen.
X = Anzahl der Kurse, die ich mit meinem Freund zusammen habe.
n = 40
p = (1/40) * (1/40), habe ich mir überlegt, da dies die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir beide in den gleichen Kurs kommen.

$\begin{eqnarray*} P(X=x_i)= \binom{40}{k}* \frac{1}{160}^{k}* \frac{159}{160}^{40-k} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

09.05.2008, 14:41

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Erstens ist $\begin{eqnarray*} 40^2 = 1600 \end{eqnarray*}$ .

Zweitens: Wieso gehst du davon aus, dass du jeden Kurs gerade mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{40} \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeit wählst? Bei 40 Kursen enstpricht das Erwartungswert 1 für die Anzahl der gewählten Kurse. Ein ganz schön fauler Schüler, würde ich mal sagen, zumal mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \left( \frac{39}{40} \right)^{40} \approx 0.363 \end{eqnarray*}$ gar kein Kurs gewählt wird. Zustände sind das... Augenzwinkern

Also wenn schon das vereinfachte Binomialmodell $\begin{eqnarray*} B(40,p) \end{eqnarray*}$ , dann solltest du ein höheres $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ betrachten bzw. es überhaupt erstmal offenlassen und mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ statt einem konkreten Wert rechnen.

09.05.2008, 15:40

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zustände sind das... Augenzwinkern

Wobei der Zahlenwert $\begin{eqnarray*} \left( \frac{39}{40} \right)^{40} \approx \operatorname{e}^{-1} \end{eqnarray*}$ schon wieder etwas Sympathisches hat ...

Und wenn man erst, wie es in dem schönen Witz heißt, 40 gegen Unendlich gehen läßt ...

09.05.2008, 16:12

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Arthur Dent

[...]Wieso gehst du davon aus, dass du jeden Kurs gerade mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{40} \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeit wählst? Bei 40 Kursen enstpricht das Erwartungswert 1 für die Anzahl der gewählten Kurse. Ein ganz schön fauler Schüler, würde ich mal sagen, zumal mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \left( \frac{39}{40} \right)^{40} \approx 0.363 \end{eqnarray*}$ gar kein Kurs gewählt wird. Zustände sind das... Augenzwinkern

Ich wähle ja keinen Kurs, man wird diesem nach meinem Modell zufällig zugeteilt. Dann ist doch die Wahrscheinlichkeit 1/40, oder nicht?

09.05.2008, 16:23

Leopold

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Das heißt, daß es denkbar wäre, daß alle Schüler in einen der 40 Kurse gepreßt werden? Und daß die andere Kurse leer ausgehen?

Ich glaube, das Problem dieser Aufgabe ist, daß du noch nicht hinreichend erklärt hast (auch dir selbst nicht), wie der Verteilungsvorgang der Schüler auf die Kurse abläuft. Mache doch einmal ein einfaches Beispiel:

5 Kurse, 30 Schüler, die Schüler werden auf die Kurse verteilt. Welche Regeln gelten dabei? Wie sehen mögliche Belegungen aus (Tabelle)? Was ist dabei als gleichwahrscheinlich anzusehen? Mit welchem Wahrscheinlichkeitsraum kann man das modellieren?

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