Wurzeln

07.05.2008, 17:27

Chilledkroete

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Wurzeln

Halo erstmal,
bin noch recht neu hier aber ich fang einfach mal an:

Stimmt es, dass nur beim wurzeln aus Gleichungen zwei Ergebnisse rauskommen, oder kommen auch aus normalen Zahlen, die man wurzelt zwei Ergebnisse heraus?

z.B.:

wurzel aus 4 = 2 v -2

Bedanke mich schonmal im Voraus

07.05.2008, 17:30

mYthos

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Die Quadratwurzel hat immer zwei, also einen positiven und einen negativen Wert.

mY+

07.05.2008, 17:47

Q-fLaDeN

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Man kann keine Zahlen "wurzeln"...

07.05.2008, 20:53

catweazle

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Bei dem "wurzeln" musste ich auch gerade breit grinsen.
Es gibt fuer so etwas natuerlich einen passenden Fachbegriff: radizieren

08.05.2008, 09:29

TheWitch

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Zitat:

Original von mYthos
Die Quadratwurzel hat immer zwei, also einen positiven und einen negativen Wert.

Das ist (zumindest für den Schulgebrauch in Deutschland; wie das anderswo aussieht, weiß ich nicht) definitiv falsch. Die Quadratwurzel aus einer nicht-negativen reellen Zahl a ist immer definiert als diejenige nicht-negative reelle Zahl, deren Quadrat a ergibt.

Die Tatsache, dass die Gleichung x² = a zwei Lösungen hat, ergibt sich daraus, dass diese Definition konsequent auch auf die linke Seite angewendet wird, womit folgt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \sqrt{a} \Leftrightarrow \mid x \mid = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Die gerne benutzte Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \sqrt{a} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist eigentlich erst das Ergebnis weiterer Umformungsschritte (Auflösen des Betrags) und führt leider viele Schüler in die Irre.

09.05.2008, 00:56

mYthos

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Es stimmt, der Satz ist verunglückt, abgesehen davon, dass er auch grammatikalisch fehlerhaft ist.

-------------------

Beim Ermitteln der Quadratwurzel einer Zahl gibt es immer zwei im Absolutwert gleiche, aber im Vorzeichen verschieden Werte.

mY+

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09.05.2008, 16:34

Chilledkroete

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Erstmal vielen Dank für die vielen Antworten Freude

Freude

also gibt es doch nur zwei Ergebnisse bei Gleichungen mit Variabeln, oder irre ich mich?

@ TheWitch:
ich weiß nicht ,ob ich dich ganz verstnaden habe, aber liegt es an dem Äquivalent, dass zwei Ergebnisse folgen, oder wie ist das?

Und was ist eigentlich genau der Unteschied zwischem dem Äquivalent und dem Gleichzeichen und wann verwendet man sie?

Bedanke mich schonmal im Voraus

09.05.2008, 16:47

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Beim Ermitteln der Quadratwurzel einer Zahl gibt es immer zwei im Absolutwert gleiche, aber im Vorzeichen verschieden Werte.

Da bist du aber auf den Einwand von TheWitch gar nicht eingegangen ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um die Eindeutigkeit der Wurzelfunktion zu erzwingen, macht man das tatsächlich so, wie TheWitch es geschrieben hat.

@ Chilledkroete

Man muß zwei Dinge unterscheiden:

1. Wurzeln (also die Ergebnisse beim Wurzelziehen) sind niemals negativ.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} = 1{,}73205\ldots \end{eqnarray*}$ (und da darf keinesfalls ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ davor!)

2. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = 3 \end{eqnarray*}$ hat zwei Lösungen, es gilt nämlich $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{3} = 1{,}73205 \ldots \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = - \sqrt{3} = - 1{,}73205 \ldots \end{eqnarray*}$ , was man, um Schreibarbeit zu sparen, zu $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{3} = \pm 1{,}73205 \ldots \end{eqnarray*}$ zusammenfaßt.

Eben gerade weil die Wurzel selbst niemals negativ ist, muß man, um die negative Lösung mitzuerfassen, vor die Wurzel noch ein Minuszeichen schreiben.

10.05.2008, 12:51

Chilledkroete

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hmm
ist das nicht so, dass man beim Radizieren die Quadratzahlen sucht,also die Zahlen, die quadriert die gewurzelte Zalh ergeben?

12.05.2008, 15:36

Chilledkroete

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das heißt doch dann, dass man beim wurzeln, wenn die zalh gößer als null ist, zwei Ergebnisse hat, nämlich einen Positiven und einen Negativen, weil diese doch quadriert die gesuchte Zalh ergeben.

12.05.2008, 17:07

system-agent

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Beachte den Unterschied den Leopold angesprochen hat:

Wenn du eine Gleichung der Art
$\begin{eqnarray*} x^2=a \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} a\geq0 \end{eqnarray*}$ lösen willst, gibt es zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} x_1=+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ fallen diese zwar zusammen, aber streng betrachtet hat man trotzdem zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} x_1=+0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-0 \end{eqnarray*}$ )

Wenn du allerdings die Wurzel einer Zahl berechnen willst, dann ist das lediglich eine andere Zahl, wohlgemerkt eine andere Zahl.
Es ist also $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ , denn die Wurzel ist immer positiv, und hier wird einfach eine Zahl hingeschrieben, die nennt sich eben $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ , und nicht zwei Zahlen.

12.05.2008, 18:02

Chilledkroete

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Danke nochmal,

jetzt verstehe ich das so allmälich. Ich dachte nämlich, dass man beim Wurzeln, oder auch radizieren alle Wurzeln sucht, also auch die negativen... Da aber nur die positive
Wurzel genommen wird gibt es nur eine Lösung.

Ich muss mich in meinen vorherigen Beiträgen entschuldigen, ich habe nämlich statt Wurzel Quadratzahlen geschrieben.

Eine Frage habe ich aber noch:
Wieso hat die Gleichung x²=a 2 Lösungen?

12.05.2008, 18:13

system-agent

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Zitat:

Original von Chilledkroete

Wieso hat die Gleichung x²=a 2 Lösungen?

Siehe den Beitrag von TheWitch:
Man muss den Betrag beachten. Die Idee ist eben das was vorher gesagt wurde:
Bei einer Gleichung sucht man alle Zahlen, welche die Gleichung erfüllen, und da gibt es bei der Quadratwurzel eben 2.
Zb.
$\begin{eqnarray*} x^2=4032064 \end{eqnarray*}$
Dann ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=\sqrt{4032064} \end{eqnarray*}$
dieses ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} |x|=\sqrt{4032064}=2008 \end{eqnarray*}$

Und beachte nun den Betrag, dann ist $\begin{eqnarray*} x=\pm2008 \end{eqnarray*}$ .

Beachte, hier wurde jede Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gesucht, welche die Gleichung erfüllt, und davon gibts nunmal 2.

12.05.2008, 18:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Beim Ermitteln der Quadratwurzel einer Zahl gibt es immer zwei im Absolutwert gleiche, aber im Vorzeichen verschieden Werte.

Wie Leopold schon schrieb: Auch das ist falsch. Die "Quadratwurzel" (auch als Wurzelfunktion bekannt) ist eine Funktion und ist genauso definiert wie TheWitch geschrieben hat.

13.05.2008, 17:06

mYthos

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Mir ist es bei der Beantwortung der eingangs gestellten Frage NICHT um die Wurzelfunktion gegangen; deren Eigenschaften kenne ich selber, für wie ahnungslos haltet ihr mich eigentlich? Ich glaube kaum, dass sich der Fragesteller beim "Wurzeln" einer Gleichung über diese Spitzfindigkeiten auch nur einen Hauch eines Gedankens gemacht hat. Manchmal sollte man eben nicht päpstlicher sein wollen als der Papst ...

mY+

14.05.2008, 09:53

TheWitch

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Der Fragesteller hat sich ja eben genau diese Gedanken gemacht.

Und das Nichtbeachten dieser "Spitzfindigkeit" führt leider tausendfach zu versauten Klassenarbeiten.

26.05.2008, 19:07

Chilledkroete

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Hi

Wink

,

Ich muss mich nochmal bei allen für ihre Hilfe bedanken und ratet mal was ich in meiner Mathearbeit gescrieben habe? Augenzwinkern

Augenzwinkern

EINE 1-

Nochmals vielen Dank an alle.

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