Funktionsuntersuchungen von Logarithmusfunktionen - Seite 2

23.12.2005, 19:04

Gioiello

danke icha habs raus, ich werde jetzt mal die andere teilaufgabe machen, werde mich dann melden, wenn ich hilfe brauche. Danke!

23.12.2005, 20:33

Gioiello

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Noch mal die teilaufgabe c)

Zeige, dass durch $\begin{eqnarray*} F_k(x)=-\frac{lnx+(k+1)}{x} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegeben ist, und berechne für die Funktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ aus Aufgabe b) den Inhalt der vom Graphen von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ , der 1. Achse und der Geraden y=x eingeschlossenen Fläche.

Problem: Ich verstehe nicht, wie man auf diese Stammfunktion kommt.
Muss man da die Substitutionsregel anwenden?
Wenn ja, ist dann die innere Funktion bei Brüchen immer der Nenner? Hilfe

Danke!

EDIT: Ich habs einfach durch partielle Integration gemacht.
$\begin{eqnarray*} \int ~(lnx+k)*x^{-2}~dx =-\frac{1}{x}*(lnx+k)-\int ~-\frac{1}{x}*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{x}*(lnx+k)+\int ~\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{x}*(lnx+k)-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-lnx-k-1}{x} \end{eqnarray*}$
Stimmt das???
Ist meine errechnete Stammfunktion dieselbe wie die, die in der Aufgabe steht ? verwirrt

24.12.2005, 03:55

20_Cent

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die stammfunktion ist richtig, du kannst ja einfach das minus im zähler ausklammern...
mfG 20

24.12.2005, 11:05

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Zoey
Zeige, dass durch $\begin{eqnarray*} F_k(x)=-\frac{lnx+(k+1)}{x} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegeben ist

Bei uns heißt das übrigens: Leite $\begin{eqnarray*} F_k \end{eqnarray*}$ richtig ab und sieh zu, dass du die Ableitung auf die selbe Form bringst, wie hier für $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Den Zeitaufwand, das zu integrieren, musst du gar nicht erbringen.

24.12.2005, 13:53

Gioiello

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Inhalt der vom Graphen $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ , der 1. Achse und der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ eingeschlossenen Fläche:
Hier sind nochmal die Funktionen, hab y als g(x) geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{lnx+\frac{1}{3} +\frac{1}{3} *ln3}{x^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} => F(x)=-\frac{lnx}{x} -\frac{4}{3x}- \frac{ln3}{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} => G(x)=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

Ich muss ja nun $\begin{eqnarray*} G(x)-F(x) \end{eqnarray*}$ machen:

$\begin{eqnarray*} H(x)=\frac{1}{2}x^2 +\frac{lnx}{x} +\frac{4}{3x}+ \frac{ln3}{3x} \end{eqnarray*}$

Und die Grenzen sind bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0,69 \end{eqnarray*}$ stimmt das?

Ich wollte diese Grenzen in $\begin{eqnarray*} H(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen und die Fläche ausrechnen, aber ich kann die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ja gar nicht einsetzen, weil $\begin{eqnarray*} ln0 \end{eqnarray*}$ geht ja nicht.

Was soll ich jetzt machen?
Stimmt das überhaupt was ich da rechne? verwirrt

EDIT:

24.12.2005, 14:08

brunsi

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du machst dir das etwas umständlich.

berechne die schnittpunkte des graphen (in deiner skizze rot) mit der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ und der x-Achse.

dann integrierst du einfach über die Funktion der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ und zwar bis zu dem schnittpunkt dieser geraden mit deinem Graphen.

also quasi von 0 bis zu diesem schnittpunkt.

danach berechnest du einfach noch das integral der Funktion (in deiner skizze ROT) vom schnittpunkt der x-achse bis zum schnittpunkt mit der Funktion $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ und anschließend subtrahierst du dann dieses flächenstück von der vorher gesamten fläche und erhälst die anfangs gesuchte fläche.

24.12.2005, 14:50

Gioiello

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Zitat:

Original von brunsi
berechne die schnittpunkte des graphen (in deiner skizze rot) mit der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ und der x-Achse.

sind das nicht die schnittpunkte die ich geschrieben habe?? => 0 und 0,69
verstehe deinen weg nicht so ganz verwirrt

EDIT:

Zitat:

danach berechnest du einfach noch das integral der Funktion (in deiner skizze ROT) vom schnittpunkt der x-achse bis zum schnittpunkt mit der Funktion und anschließend subtrahierst du dann dieses flächenstück von der vorher gesamten fläche und erhälst die anfangs gesuchte fläche.

Meinst du damit, dass ich erst f(x) (ROT) gleich Nullsetzen soll, um den schnittpunkt mit der x-achse zu bestimmen?? und dann einfach ganz normal integrieren und fläche ausrechnen ja?

vielleicht habe ich gerade deinen weg nach 99 mal durchlesen doch verstanden? verwirrt

24.12.2005, 15:11

Poff

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Zoey,

du machst das schon richtig soweit ich das auf die Schnelle seh.
Für die Grenze nimmt man aber den exakten Wert, soweit und
solange es sich damit 'vernüftig' rechnen lässt.

Edit
Quatsch, jetzt hab ich nicht aufgepasst,
nein so geht das hier nicht, du sollst ja die Fläche zw. x-Achse
usw. berechnen, dazu berechnest die passende Dreiecksfläche
und subtrahierst den passenden Teil der 'Log'-Funktion ...
dazu brauchst zusätzlich noch den Schnittpunkt mit der x-Achse

das dürfte auch das sein was brunsi meinte ...

24.12.2005, 15:14

Gioiello

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Ja und was heißt das nun?
Ich würde gerne wissen, wie ich mit MEINEM rechenweg auf einen Wert kommen soll.

EDIT: ...weil man ja bei den graphen sieht, dass es eine fläche gibt, wieso kriege ich die aber durch meinen weg nicht raus ??
Mit brunsi's weg hab ich nun einen wert raus => A=2,02342 (wenn ich seinen weg überhaupt richtig verstanden habe)

EDIT2: ich glaube mein wert für A ist falsch Big Laugh

24.12.2005, 15:20

Poff

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Schau nochmal hoch, ich hab editiert ...

24.12.2005, 15:36

Gioiello

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Meint ihr beide das so?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{0,69}~x~dx =[\frac{1}{2}x^2 ]_{0}^{0,69} = 0,23805 \end{eqnarray*}$

Log-Funktion:
Schnitpunkt mit der x-Achse => x=0,4968 (gerundet 0,5)
$\begin{eqnarray*} \int_{0,5}^{0,69} \frac{lnx+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} *ln3}{x^2}~dx=[-\frac{lnx+\frac{4}{3}+\frac{1}{3}*ln3}{x} ]_{0,5}^{0,69}= .... \end{eqnarray*}$

EDIT: ...und dann subtrahieren

24.12.2005, 15:55

brunsi

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ja und das was jetzt beim zweiten integral als Flächeninhalt heraus kommt, subtrahierst du einfach von dem Flächeninhalt, den du beim ersten integral berechnet hast.

edit: @Poff: das ist genau das was ich meine.

24.12.2005, 15:55

Poff

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Richtig, aber da es für beide Grenzen exakte Lösungen gibt,
lässt sich das auch exakt durchrechnen mit einer exakten Lösung
als Ergebnis.

24.12.2005, 15:58

Gioiello

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Habt ihr das ausgerechnet???
Ich hab da A=0,15075 raus....
Danke euch!
Aber ich verstehe immer noch nicht, wieso ich das nicht so ausrechnen konnte, wie ich das machen wollte. Ich hab Flächen immer so ausgerechnet nur mit einem Unterschied, bis jetzt war es keine Funktion mit ln Big Laugh

Könnt ihr mir das mal erklären?!

24.12.2005, 16:07

brunsi

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du musst immer schauen, wo die Fläche liegt, die du berechnen möchtest.

Wenn sie zwischen 2 Graphen liegt,also von ihnen umschlossen wird, dann ist deine Methode völlig korrekt. doch hier geht das nicht.

Denn du berechnest ja immer die Fläche unter einem Graphen und wenn du die Fläche von f(x) berechnest, dann wird diese nur von der x-achse und dem Graphen begrenzt nicht aber von der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$

Hinzu kommt hier noch, dass du eine Stammfunktion erzeugt hast, bei der der Term $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x= 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. deshalb darfste den wert 0 auch nciht einsetzen und daher scheitert diese methode schon, da du so nicht den gesuchten flächeninhalt berechnen kannst.

24.12.2005, 16:11

Gioiello

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Achsoooooooooooo
Vielen vielen Dank Mit Zunge

EDIT: Nach 55 Beiträgen hab ich/haben wir es endlich geschafft, die ganze aufgabe zu lösen Big Laugh

geil

24.12.2005, 16:13

brunsi

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hab jetzt allerdings nicht ausgerechnet, was herauskommen müsste, das bekomme ich ohne taschenrechne rnicht hin. hab meinen nämlich in FL vergessen unglücklich

24.12.2005, 16:15

Gioiello

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Macht nichts....
Übrigens, mi Derive hab ich den mist auch net hinbekommen.
Mit Blatt und Stift gehts wohl viel besser, jaja Big Laugh

24.12.2005, 16:23

brunsi

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ja derive spuckt auch nciht immer alles korrekt aus, daher verlasse ich mich lieber auf meinen kopf und meinen zettel und stift Big Laugh

!!

doch vielleicht wäre es annäherungsweise mitd erive doch gegangen??

24.12.2005, 16:25

Gioiello

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Naja ich wollte das in Derive genauso eingeben wie ich das vorhin ausrechnen wollte, und der hat mir immer entweder -unendlich oder unendlich gezeigt Big Laugh

Aber nachdem ihr mir gesagt habt, dass ich das einzeln machen soll, dann gings logischerweise smile

24.12.2005, 16:27

Poff

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Die exakte Lösung ist A = 3^(1/3)*(3/2-exp(1/3))
das ist verschieden von deinem Wert.
...

Wenn du das so berechnet hättest wie du ursprünglich wolltest,
dann hättest eine ganz andere Fläche berechnet und zwar
die Fläche zw. den beiden Funktionen

und die ist zu 'allem Unglück' auch noch unendlich

24.12.2005, 16:28

brunsi

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genau. das hatte ich vergessen zu erwähnen, vielen dank @Poff!! Prost

24.12.2005, 16:29

Gioiello

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@poff
wenigstens haben wir am anfang beide 0,15... Big Laugh

sind bestimmt nur rundungsfehler (hoffe ich)

Danke für die Erklärung...

EDIT: Wie kommst du eigentlich auf so eine exakte Lösung???

24.12.2005, 16:43

Poff

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Sorry, irgendwo hatte ich was mit A = 0.2..... gelesen *g*
da muss mir was 'nen Steich gespielt haben ....
dein Ergebnis 'stimmt'.

Exakte Lösung:

Die Nullstelle ist ( 1/(3*e) )^(1/3)
Die Schnittstelle ist (1/3)^(1/3)

mit diesen beiden Grenzen lässt sich das komplett durchrechnen ...

24.12.2005, 19:57

Gioiello

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Ok!
ich hab 1/3^1/3 ausgrechnet und dann gerundet, deswegen habe ich nicht so eine EXAKTE Lösung wie du Augenzwinkern

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