Funktionsuntersuchungen von Logarithmusfunktionen

21.12.2005, 15:36

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktionsuntersuchungen von Logarithmusfunktionen

1. Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x*lnx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=lnx+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Extrempunkte: $\begin{eqnarray*} f'(x)=lnx+1=0 \end{eqnarray*}$
Lösung $\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
Problem: wie rechnet man das? Ich kann die Funktionsuntersuchung mit ln-Funktionen noch nicht, könnt ihr mir mal erklären, was man mit dem ln dann macht?

2. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{lnx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1-lnx}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g''(x)=\frac{2lnx-3}{x^3} \end{eqnarray*}$

Problem: Ich bekomme die 2. Ableitung nicht hin.

Extrempunkte: $\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0 \end{eqnarray*}$
Lösung: $\begin{eqnarray*} x=e \end{eqnarray*}$
Hier habe ich das gleiche Problem, weiß nicht wie man darauf kommt.

21.12.2005, 15:39

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionsuntersuchungen von Logarithmusfunktionen

Zitat:

Original von Zoey
Extrempunkte: $\begin{eqnarray*} f'(x)=lnx+1=0 \end{eqnarray*}$

<=> ln(x)=-1 und jetzt auf beiden seiten die e-funktion anwenden....
geht unten geanuso

wo hängts bei g''?

21.12.2005, 15:40

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

weißt du, was die ableitung vom ln ist?
dann kannst du die ganz normalen ableitungsregeln benutzen, produktregel, kettenregel...
mfG 20

21.12.2005, 15:49

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

AH, danke LOED

die ableitung von ln ist 1/x

hab die ableitung hinbekommen Big Laugh

Big Laugh

21.12.2005, 16:07

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich ein Problem mit dem Grenzwertverhalten

Untersuche das Grenzwertverhalten von f(x) für $\begin{eqnarray*} {x \to }+\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {x \to }0 \end{eqnarray*}$
Für die Untersuchung von f(x) für $\begin{eqnarray*} {x \to }0 \end{eqnarray*}$ schreibe $\begin{eqnarray*} x=e^{-z} \end{eqnarray*}$

Hier steht:
Verhalten für $\begin{eqnarray*} {x \to }+\infty \end{eqnarray*}$ :
Wegen $\begin{eqnarray*} {x \to }\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} lnx { \to }\infty \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)= {x*lnx \to }\infty \end{eqnarray*}$

Verhalten für $\begin{eqnarray*} {x \to }0 \end{eqnarray*}$ :
Schreibt man x in der Form $\begin{eqnarray*} x=e^{-z} \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich: $\begin{eqnarray*} x*lnx=e^{-z}-ln(e^{-z}=-z*e^{-z} \end{eqnarray*}$
Es gilt weiter: x strebt genau dann gegen 0, wenn z gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt.
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty } z*e^{-z}=0 \end{eqnarray*}$ , gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } x*lnx=0 \end{eqnarray*}$

Ich kapiere da nichts, ich hab schon immer probs mit grenzwerten gehabt. Kann mir das mal jemand erklären? bitte

21.12.2005, 16:26

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

der erste teil ist hoffentlich klar, da gehen beide Terme gegen unendlich.

Im zweiten Teil wird der Grenzwert vom ln auf den der e-funktion zurückgeführt...
Dafür musst du nur wissen, dass $\begin{eqnarray*} e^{-z} \end{eqnarray*}$ für z gegen unendlich schneller gegen 0 läuft, als z gegen unendlich.
Die Exponentialfunktion ist sozusagen "stärker" als die lineare funktion.
Für den Logarithmus gilt dann das genaue Gegenteil.
mfG 20

Anzeige

21.12.2005, 17:07

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2+1) \end{eqnarray*}$
Ich habe hier das Grenzwertverhalten untersucht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) =\infty \end{eqnarray*}$

Ich hab das raus, in dem ich zahlen eingesetzt habe. kann man das so machen? stimmt das da oben?

21.12.2005, 17:16

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zoey
Ich hab das raus, in dem ich zahlen eingesetzt habe. kann man das so machen? stimmt das da oben?

davon abgesehen, dass du unendlich nicht einsetzen kannst, stimmt's

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~f(x)=f(a) \end{eqnarray*}$ , falls f stetig (und definiert) in a; also kannst du 0 wirklich einfach einsetzen

21.12.2005, 17:20

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Für unendlich setze ich große zahlen ein, wie 1000, 10000 etc. und für "gegen 0" setze ich 0,1; 0,001; 0,0001 etc. ein
So haben wir das beigebracht bekommen smile

smile

Hauptsache es ist RICHTIG Big Laugh

Big Laugh

________zusamengefügt_________

ich habe eine frage:
kann ich das IMMER so mit einsetzen machen ???

EDIT: ups, sorry wegen Doppelposting, hatte es für einen klitzkleinen moment vergessen, dass ich ja auch edit machen kann...
[jochen: kein problem!]

21.12.2005, 17:40

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, einsetzen geht immer, um eine vermutung zu kriegen (ob du allerdings eine passende bekommst, das bleibt bei manchen problemen fraglich)
aber zum beweisen reicht das nicht, wenn du nicht wirklich den wert einsetzen kannst!

sprich: 0 konntest du einsetzen, obere log-funktion ist stetig, also gilt ....=f(0)=0
unndlich kannst du nicht einsetzen und du kannst nicht daraus folgern, das f(100000000000000000) gaaaaaaaaaaaanz groß ist, dass das dann gegen unendlich geht

21.12.2005, 18:01

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir erklären, wie ich das beweisen soll, ich kann das nicht so ganz bzw. verstehe das nicht so sehr...

21.12.2005, 18:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Vermutung die ist, daß f(x) für x gegen unendlich nach +unendlich divergiert, dann ist folgendes zu zeigen:
Für jede natürliche Zahl N gibt es ein x0, so daß f(x) > N für alle x > x0.

22.12.2005, 12:12

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

aber in der schule macht man das normalerweise nicht so...
da wird nur verglichen, zum Beispiel steigt e^x schneller als x, also geht

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^x}{x} \end{eqnarray*}$ für x gegen unendlich gegen unendlich.

mfG 20

22.12.2005, 15:29

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2-4)*lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)= \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \infty \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

22.12.2005, 16:21

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt.

22.12.2005, 23:22

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Thx.

Aber ich habe ne ganz wichtige Frage Big Laugh

Big Laugh

Ich weiß immer noch nicht wie ich den Grenzwert richtig bestimme, ich habe das da oben auch durch einsetzen rausgefunden.

Ich mache gerade eine Funktionsuntersuchung von der folgenden Funktionenschar: $\begin{eqnarray*} f_k(x)=\frac{lnx+k}{x^2} \end{eqnarray*}$

Erklärt mir mal bitte an dieser Funktionenschar, wie man hier den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} {x \to 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {x \to \infty } \end{eqnarray*}$ bestimmt.

22.12.2005, 23:27

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

x^2 geht schneller gegen unendlich, als ln(x), also geht der bruch für x gegen unendlich wogegen?

edit2: ln(x) geht für x gegen 0 gegen -unendlich, x^2 geht gegen null, also geht der ganze bruch gegen?

Das k braucht dich nicht zu stören, das kann man vernachlässigen.

mfG 20

edit: normalerweise würde man das wohl mit L'Hospital machen... kennst du das?

22.12.2005, 23:36

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß es nicht
ich weiß zwar die lösungen, aber ich kann das wohl nur mit zahlen traurig

traurig

weil ich würde mir das dann so vorstellen:
x^2 geht ja schneller gegen unendlich als lnx, und das x^2 steht ja unter dem bruch, also werden die zahlen nicht unendlich groß, sondern gehen immer mehr zur 0, also ist die lösung 0.
beim 2. weiß ich es net.... weiil -unendlich kann man ja nicht durch 0 teilen... verwirrt

verwirrt

L'Hospital kenne ich nicht.

22.12.2005, 23:39

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

das erste stimmt ja...

beim zweiten teilst du ja nicht durch null, sondern durch immer kleinere zahlen, was passiert dann mit dem ganzen bruch?

mfG 20

22.12.2005, 23:40

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

- unendlich durch kleinere zahlen = -unendlich

22.12.2005, 23:42

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

genau, es geht also noch schneller nach -unendlich. der Grenzwert ist also -unendlich.
mfG 20

22.12.2005, 23:45

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

sag mal muss ich den grenzwert immer so bestimmen wie du es jetzt gemacht hast? also immer einzeln die funktionen betrachten und dann zusammenfassen? aber hier wussten wir ja wie die funktionen aussehen, was ist wenn ich es nicht weiß ?

22.12.2005, 23:48

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, wie gesagt, da gibt es auch regeln...
Grenzwertsätze, L'Hospital...
Aber wenn ihr das nicht gelernt habt, dann musst du das wohl so machen.

Wenn du die Funktionen nicht gezeichnet hast, meinst du?
naja, die ableitung an einer Stelle ist ja die Steigung an dieser Stelle...
so könntest du z.B. rausfinden, welche funktion schneller steigt.
mfG 20

22.12.2005, 23:52

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das meine ich, wenn man die funktionen nicht gezeichnet hat und nicht weiß wie die verlaufen, weil hier wusste ich und natürlich auch du Big Laugh

Big Laugh

wie die graphen aussehen.
L'Hospital haben wir noch(?) nicht gelernt.
Danke Mit Zunge

Mit Zunge

EDIT: ich muss noch 2 weitere teilaufgaben mit dieser funktionenschar machen und ich bin mir sicher, dass ich da wieder fragen habe, also bis dann Big Laugh

Big Laugh

23.12.2005, 15:49

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Obige Funktionenschar
Teilaufgabe b)
Bestimme $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ so, dass der Graph von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ die Gerade mit $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ berührt.

Muss ich da die Gleuchung von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und dann nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auflösen, und das gleiche mit den Ableitungen machen???
Hilfe

Hilfe

23.12.2005, 17:34

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... diese aufgabe verwundert mich sehr...
normalerweise müsstest du die funktion und die gerade gleichsetzen und die schnittpunkte bestimmen...
danach an den schnittstellen die steigung gleich 1 setzen, und k bestimmen.

Andersrum ginge es auch, zurerst gucken, wo die steigung gleich ist, dann an diesen stellen k bestimmen, so dass sie sich berühren...

Bei dieser Funktion finde ich mit Derive allerdings keine Lösung, denn egal welche Methode man anwendet, das auflösen nach x ist nicht möglich, z.T. noch nicht mal vernünftig numerisch...

Du gehst aber von

$\begin{eqnarray*} f_k(x)=\frac{lnx+k}{x^2} \end{eqnarray*}$

aus, oder?

mfG 20

23.12.2005, 17:36

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Und wie soll ich das jetzt ausrechnen? verwirrt

verwirrt

EDIT: Übrigens hier ist die nächste Teilaufgabe:
Zeige, dass durch $\begin{eqnarray*} F_k(x)=-\frac{lnx+(k+1)}{x} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegen ist, und berechnet für die Funktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ aus Aufgabe b) den Inhalt der vom Graphen von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ , der 1. Achse und der Geraden y=x eingeschlossenen Fläche.

23.12.2005, 17:47

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Ermittle für welches k die Funktion fk(x) = x ist

Setze das gefundene k in die Ableitung von fk ein und
bestimme an welcher Stelle diese Funktion die Steigung 1 annimmt.

Das ist deine gesuchte Berührstelle und die gesuchte Funktion
erhälst, indem du diese Berührstelle in die Bedingung für das oben
ermittelte k einsetzt und diesen k-Wert dann in die ursprügliche
Schargleichung. Etwas verwirrend, ich weiß, probier mal,
mir fällt gerade nichts besseres ein.

Lösung:

(ln(x)+1/3-ln(1/3*3^(2/3))) / x^2 = (ln(x)+1/3+1/3*ln(3)) / x^2

Edit
(Etwas vereinfacht)

23.12.2005, 17:55

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff:
Ich verstehe deinen Weg nicht...
Wenn man k so bestimmt, dass fk(x) = x ist, dann ist doch die Steigung von diesem fk überall 1, oder nicht?

mein k ist x^3 - lnx

Am meisten verwundert mich aber, dass deine Lösung richtig ist, ich komme nur nicht darauf...
mfG 20

23.12.2005, 18:01

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein k ist auch $\begin{eqnarray*} x^3-lnx \end{eqnarray*}$ .

Soll ich jetzt das machen? => $\begin{eqnarray*} \frac{lnx+x^3-lnx}{x^2} =1 \end{eqnarray*}$ und nach x auflösen???

EDIT: ich kapiers net, nochmal bitte, was muss ich wo einsetzen ... verwirrt

verwirrt

Hilfe

23.12.2005, 18:02

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 20_Cent
@Poff:
Ich verstehe deinen Weg nicht...
Wenn man k so bestimmt, dass fk(x) = x ist, dann ist doch die Steigung von diesem fk überall 1, oder nicht?

Nein, die Scheiden sich nur an dieser Stelle.
Die Nachfolgende Bedingung stellt dann erst sicher, dass dort auch
die Steigung 1 vorliegt.

dein 'k' ist richtig.

23.12.2005, 18:06

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

zoey's ergebnis habe ich dann auch.
wenn man das zusammenfasst, kommt x raus.
und x hat überall die steigung 1.

Welche Stelle meinst du überhaupt, für dein k ist die ganze (!) Funktion =x...
mfG 20

23.12.2005, 18:22

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die gesuchte Berührstelle x=1 ?
Nein, stimmts? verwirrt

verwirrt

23.12.2005, 18:24

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

20_Cent &, schaut nochmal nach oben, ich hab was editiert

23.12.2005, 18:25

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ist sie nicht.
Ich habs nochmal ausprobiert, hab zuerst abgeleitet, dann k eingesetzt (obwohls ja von x abhängt...)
dann komme ich numerisch (analytisch kanns derive nicht) auf einen ähnlichen wert wie poff, der allerdings bei genauem hinsehen falsch ist...
wäre cool, wenn poff seinen weg mal posten könnte...
mfG 20

edit: ok, habs ja so gemacht... nur finde ich da keine analytische lösung... derive's näherungslösung ist leider falsch...

23.12.2005, 18:45

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

fk' = 1/x^3 - 2*(ln(x)+k)/x^3

das gefundene k eingesetzt und gleich 1 gefordert ergibt das

1/x^3 - 2 = 1
...
...

23.12.2005, 18:47

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x=\frac {1}{3}^3 \end{eqnarray*}$ ??

EDIT: das ist falsch, ich weiß Big Laugh

Big Laugh

23.12.2005, 18:49

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

hmpff, das kommt davon, wenn man sich auf derive verlässt...
jetzt hab ich auch das richtige raus.

@zoey: nein, das ist falsch.

mfG 20

23.12.2005, 18:52

Gioiello

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x=\frac {1}{3}^\frac {1}{3} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ ?

23.12.2005, 18:55

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

beim ersten musst du klammern drumm machen...
dann stimmt beides.
mfG 20

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »