Infinite variance

21.12.2005, 16:13

Michael222

Infinite variance

Hallo!

Ich habe eine ganz allgemeine Frage, und zwar habe ich gelesen, dass die Cauchy-Verteilung und die Levy-Verteilung nicht Erwartungswert und Varianz haben wie jede andere Verteilung.

Was ich dazu nicht verstehe, ist:
1) Einmal heißt es, die Varianz ist "unbestimmt" oder es gibt keine, einmal, dass sie unendlich ist.
Von der Formel her check ich's nicht.
2) Same question mit dem Erwartungswert.
Ich meine, einen Durchschnitt kann man doch immer ausrechnen?
3) At last: Wo kommt so was denn in der Wirklichkeit zB vor?

Vielen lieben Dank und frohe Weihachten an alle!

21.12.2005, 16:40

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Zitat:

Original von Michael222
1) Einmal heißt es, die Varianz ist "unbestimmt" oder es gibt keine, einmal, dass sie unendlich ist.

Für eine Zufallsgröße gibt es prinzipiell drei mögliche Fälle:

(1) Erwartungswert und Varianz existieren.

(2) Erwartungswert existiert, die Varianz aber nicht. In dem Fall spricht man auch von unendlicher Varianz.

(3) Erwartungswert und Varianz existieren beide nicht. Kann sein, dass damit die Formulierung "Varianz unbestimmt" gemeint ist, denn in der Formel zur Berechnung der Varianz taucht ja der hier ebenfalls nichtexistente Erwartungswert auf.

Wie bei (3) schon indirekt erwähnt, ist die Kombination "Varianz existiert, Erwartungswert existiert nicht" nicht möglich.

Zitat:

Original von Michael222
2) Same question mit dem Erwartungswert.
Ich meine, einen Durchschnitt kann man doch immer ausrechnen?

Du darfst Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \bar{x}_n \end{eqnarray*}$ einer Stichprobe (mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werten) nicht mit dem Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ der zugehörigen Zufallsgröße verwechseln. Ersteres ist ein Schätzer für zweiteres. Und der nichtexistente Erwartungswert äußert sich in folgendem Verhalten des Stichprobenmittelwerts:

Der Wert $\begin{eqnarray*} \bar{x}_n \end{eqnarray*}$ konvergiert einfach nicht für Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , was er im Fall eines existenten Erwartungswertes fast sicher tun muss (Gesetz der großen Zahlen).

Zitat:

Original von Michael222
3) At last: Wo kommt so was denn in der Wirklichkeit zB vor?

Tja, was ist die Wirklichkeit? In der Wikipedia ist bei Cauchyverteilung einiges genannt, was du aber vermutlich nicht als Wirklichkeit akzeptieren wirst. Augenzwinkern

21.12.2005, 16:51

Michael222

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:-)
- Beispiele:
Auf Wikipedia sehe ich ein paar Beispiele für "Vorkommen", aber das war nicht ganz, was ich meinte, da hast Du Recht.
Gibt es denn Dinge, die sich so verhalten?
Wie kann man sich das vorstellen?

- Dann zu Deiner Antwort 1): Ich habe gelesen, dass Erwartungswert und Varianz "infinite" und unendlich seien.
Ist das also falsch und in Wirklichkeit sind beide nur unbestimmt?

- Wie kann es keine Varianz geben, wenn es doch einen Erwartungswert gibt?
Kann mir das gar nicht vorstellen.

- Was genau meint hier konvergieren?
Ich meine, eine Normalverteilung hat ja einen Erwartungswert.
Trotzdem kann es sein, dass der sich dauernd verändert, wenn ich weitere Zahlen in die Berechnung des Durchschnittswertes miteinbeziehe.

Merci smile

21.12.2005, 17:00

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Zitat:

Original von Michael222
Ich meine, eine Normalverteilung hat ja einen Erwartungswert.
Trotzdem kann es sein, dass der sich dauernd verändert, wenn ich weitere Zahlen in die Berechnung des Durchschnittswertes miteinbeziehe.

Nein!!! Der Erwartungswert bleibt gleich, wenn du stets aus der gleichen Grundgesamtheit deine Stichprobe ziehst. Nur der Durchschnitt ändert sich.

Du verwechselst also schon wieder beide Begriffe! LOL Hammer

21.12.2005, 17:05

Michael222

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Au!
Na, hab's mir eh verdient Augenzwinkern

Kannst Du mir die anderen offenen Fragen auch noch beantworten?
(ein bisschen sanfter, wenn es geht smile

)

21.12.2005, 17:23

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Die Fälle $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und "unbestimmt" sind Sonderfälle von "nicht existent".

Um die Einordnung zu erklären, muss man leider etwas weiter ausholen: Dazu zerlegt man die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in Positivteil $\begin{eqnarray*} X^+:=\max(X,0) \end{eqnarray*}$ und Negativteil $\begin{eqnarray*} X^-:=\max(-X,0)=-\min(X,0) \end{eqnarray*}$ , d.h., es gilt dann $\begin{eqnarray*} X=X^+-X^- \end{eqnarray*}$ . Sowohl Positivteil $\begin{eqnarray*} X^+ \end{eqnarray*}$ als auch Negativteil $\begin{eqnarray*} X^- \end{eqnarray*}$ sind beides nichtnegative Zufallsgrößen, für die es nur zwei Möglichkeiten gibt: Existenter Erwartungswert $\begin{eqnarray*} 0\leq E(X^+)<\infty \end{eqnarray*}$ oder bestimmt divergenter Wert $\begin{eqnarray*} E(X^+)=\infty \end{eqnarray*}$ (von "Existenz" kann man in letzterem Fall nicht sprechen, aber die Symbolik hat sich nun mal eingebürgert). Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} X^- \end{eqnarray*}$ . Und nun gibt es folgende Kombinationen dieser Fälle:

(a) $\begin{eqnarray*} E(X^+)<\infty, E(X^-)<\infty \end{eqnarray*}$ : Dann existiert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und berechnet sich gemäß $\begin{eqnarray*} E(X)=E(X^+)-E(X^-) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} E(X^+)=\infty, E(X^-)<\infty \end{eqnarray*}$ : Dann existiert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ nicht, man schreibt aber $\begin{eqnarray*} E(X)=\infty \end{eqnarray*}$ (bestimmte Divergenz)

(c) $\begin{eqnarray*} E(X^+)<\infty, E(X^-)=\infty \end{eqnarray*}$ : Dann existiert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ nicht, man schreibt aber $\begin{eqnarray*} E(X)=-\infty \end{eqnarray*}$ (bestimmte Divergenz)

(d) $\begin{eqnarray*} E(X^+)=\infty, E(X^-)=\infty \end{eqnarray*}$ : Dann existiert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ nicht, und es liegt auch keine bestimmte Divergenz vor - dann nennt man den Erwartungswert unbestimmt. Die Cauchyverteilung gehört zu diesem Fall (d).

P.S.: Der LOL-Hammer ist nicht bös gemeint. Augenzwinkern

21.12.2005, 17:31

Michael222

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Danke!
Ich glaube, ich habe es intuitiv verstanden, vielleicht zur Sicherheit:
Dass der Erwartungswert bzw. die Varianz "unendlich sind", ist also eine schleißige Formulierung dafür, dass sie eigentlich unbestimmt oder divergent ist, weil das Zeichen für divergent hier das Unendlichkeitszeichen ist?

Und noch dieses:
Wenn aber der Erwartungswert existiert, wie kann dann die Varianz nicht existieren?

Ich weiß, das ist die Anfängerfrage schlechthin, aber:
Wie kann man sich das vorstellen?
In der "Wirklichkeit" smile

PS: Keine Sorge, es hat nicht weh getan ;-P

21.12.2005, 19:37

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Zitat:

Original von Michael222
Und noch dieses:
Wenn aber der Erwartungswert existiert, wie kann dann die Varianz nicht existieren?

Beispiel: Stetige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{2}{x^3} & \;\mbox{für}\; x\geq 1\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

und demzufolge der Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 1-\displaystyle\frac{1}{x^2} & \;\mbox{für}\; x\geq 1\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_1^{\infty} ~ \frac{2}{x^2} ~ \mathrm{d}x = 2 \end{eqnarray*}$ ,

aber

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int\limits_1^{\infty} ~ \frac{2}{x} ~ \mathrm{d}x = \infty \end{eqnarray*}$ .

Und damit auch $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2 = \infty \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Das eben angeführte Beispiel ist übrigens eine Pareto-Verteilung mit den Parametern $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{\min}=1 \end{eqnarray*}$ . Auf der genannten Wikipediaseite sind auch ein paar Anwendungsbeispiele genannt, die dich vielleicht eher überzeugen als die der obigen Cauchy-Verteilung.

22.12.2005, 11:54

Michael222

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Hi!
Ich hab jetzt eine Frage zu einem Rechendetail:

Zuerst schreibst Du f(x) = 2/x^3

Dann aber E(x) = Integral auf 2/x^2 * dx

Ich meine, E(X) = Integral auf f(x) dx,
warum dann also plötzlich die 2 statt der 3 im Exponenten?

22.12.2005, 11:59

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Für stetige Zufallsgrößen gilt $\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x\cdot f(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} x\cdot \frac{2}{x^3} = \frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$ , war schon immer so. Augenzwinkern

Analog dann $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^2\cdot f(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

22.12.2005, 12:03

Michael222

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Okay, das war wirklich eine es-schneit-draußen-grauer-Morgen-müde-Frage vcon mir...

Darf ich Dich noch fragen, wie das mit den Varianzen ist?

Wann man sie "unendlich" nennt, wann "unbestimmt" und wann "bestimmt divergent"?

22.12.2005, 12:13

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Falls der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ existiert, dann sieht man bereits an der Definition

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X) = E(X-E(X))^2 \end{eqnarray*}$

dass hier der Erwartungswert einer nichtnegativen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} (X-E(X))^2 \end{eqnarray*}$ gebildet wird (wegen des Quadrates!). Und wenn du dich an meinen obigen Beitrag erinnerst: Für solche Zufallsgrößen gibt es nur die Fälle "Erwartungswert existiert" ( $\begin{eqnarray*} E(X-E(X))^2< \infty \end{eqnarray*}$ ) oder "Erwartungswert ist bestimmt divergent" ( $\begin{eqnarray*} E(X-E(X))^2=\infty \end{eqnarray*}$ ) Also tritt der Fall "unbestimmt" hier so nicht auf. Allerdings kann man das Attribut für die Varianz dennoch vergeben, und zwar in dem Fall, dass nicht mal der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ existiert, hab ich auch schon oben erwähnt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
(3) Erwartungswert und Varianz existieren beide nicht. Kann sein, dass damit die Formulierung "Varianz unbestimmt" gemeint ist, denn in der Formel zur Berechnung der Varianz taucht ja der hier ebenfalls nichtexistente Erwartungswert auf.

Für diesen Fall ist also bereits die Definition $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X) = E(X-E(X))^2 \end{eqnarray*}$ schlicht sinnlos.

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