grenzwert der folge

21.12.2005, 16:43

freak 120

grenzwert der folge

Ich soll grenzwert der folge bestimmen:
$\begin{eqnarray*} an=\frac{(4n+3)*(2n)^{n-1}}{(2n+2)^n} \end{eqnarray*}$

das geht doch mit den Quotientenkriterium oder nicht? dann ware
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{an+1}{an} \mid =\frac{(4n+3+1)*(2n+1)^{n-1+1}}{(2n+2+1)^{n+1}} * \frac{(2n+2)^n}{(4n+3)*(2n)^{n-1}} \mid \end{eqnarray*}$

jetzt kann man doch kürzen/vereinfachen und dann kommt das heraus oder nicht?
$\begin{eqnarray*} \frac{1+2n+1}{2n+2+1} =\frac{2n+2}{2n+3}= \frac{2}{3} < 1 \end{eqnarray*}$

dann wäre bewiesen, dass die folge konvergent ist und der grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ beträgt
...
Hätte man das noch anders rechnen können bzw. ist diese lösung überhaupt richtig? wenn nicht wo sind die fehler....

21.12.2005, 16:46

20_Cent

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RE: grenzwert der folge

Zitat:

Original von freak 120
Ich soll grenzwert der folge bestimmen:
$\begin{eqnarray*} an=\frac{(4n+3)*(2n)^{n-1}}{(2n+2)^n} \end{eqnarray*}$
das geht doch mit den Quotientenkriterium oder nicht?

das geht doch mit den Quotientenkriterium oder nicht?
meiner meinung nach gibts das nur für reihen...
damit bestimmst du aber nicht den Wert (Grenzwert) der Reihe, sondern stellst nur fest, ob sie konvergiert, oder nicht.
mfG 20

21.12.2005, 17:26

Leopold

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Entweder du siehst den Trick oder du bist aufgeschmissen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)^{n-1}}{(2n+2)^n} = \frac{(2n)^{n-1} \cdot \frac{1}{(2n)^n}}{(2n+2)^n \cdot \frac{1}{(2n)^n}} = \frac{\frac{1}{2n}}{\left( \frac{2n+2}{2n} \right)^n} = \frac{\frac{1}{2n}}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \end{eqnarray*}$

21.12.2005, 18:30

freak 120

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das habe ich jetzt verstanden ... danke aber was ist mit den $\begin{eqnarray*} (4n+3) \end{eqnarray*}$ und was wäre dann der grenzwert????

21.12.2005, 18:42

klarsoweit

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Das (4n+3) muß noch in den Zähler reinmultipliziert werden. Dann mal schauen, wohin der Zähler konvergiert. Wohin der Nenner konvergiert, dürfte klar sein.

21.12.2005, 19:05

Freak 120

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würde das jetzt da stehen?
$\begin{eqnarray*} \frac{(4n+3)* \frac{1}{2n}}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{(4n+3)} {e*2n} \end{eqnarray*}$ und jetzt müsste ich doch durch n dividieren
$\begin{eqnarray*} \frac{4+3/n}{e/n *2}=\frac{4}{2} =2 \end{eqnarray*}$

oder wie muß ich das verstehen????

21.12.2005, 19:13

freak 120

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oder kmuß das so?? $\begin{eqnarray*} \frac{4n+3 * \frac{1}{2n}}{e}=\frac{4n+3}{e} =\frac{4+\frac{3}{n}}{\frac{e}{n}} =4 \end{eqnarray*}$

21.12.2005, 19:15

Leopold

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Du kannst natürlich nicht bei einem Teil des Terms zum Grenzwert ( $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ ) übergehen und im Rest $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stehen lassen. Der Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ erfolgt entweder überall gleichzeitig oder nirgendwo. Multipliziere $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ in die Klammer $\begin{eqnarray*} (4n+3) \end{eqnarray*}$ hinein. Dann siehst du am schnellsten, was passiert.

EDIT (zum inzwischen erfolgten weiteren Beitrag von freak 120)

Du machst immer wieder neue Fehler. Zunächst einmal solltest du dich um eine korrekte Klammersetzung kümmern. Erst wenn diese Basics stimmen, geht es weiter.

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