Parallelogramm im dreidimensionalen Raum

07.05.2008, 19:38

Wrandy

Parallelogramm im dreidimensionalen Raum

Moin,

sitz gerade an den Mathe Aufgaben. Und mit den letzten beiden komm ich leider net klar. Also:

Die Vektoren a, b spannen ein Parallelogramm auf, falls sie linear unabjöngig sind.

a) Beweise, dass für den Flächeninhalt A des Parallelogramms gilt:

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{a²*b²-(a * b)²)} \end{eqnarray*}$
(bei der ersten ist es eine normale Multiplikation, das zweite Mal eine skalare Verknüpfung)

b) Berechne den Flächeninhalt von PQR mit P(1|-2|5), Q(3|7|2), R(1|5|1).

c) Berechne den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide mit den Ecken P(1|0|0), Q(0|5|0), R(-3|1|1), S(-1|2|4)

Bei dem ganzen ist noch ne Skizze dabei. Der Vektor a ist die längere Seite unten und b die Seite die Seite links und rechts, zwischen den beiden Vektoren ist noch ein Winkel phi gekennzeichnet. Außerdem ist noch die Höhe eingezeichnet und angegeben mit:

h²=b²(1-cos²phi)

Die andere Aufgabe kommt dann nach der.

Hoffe ihr könnt mir helfen

07.05.2008, 19:46

tmo

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fange an mit $\begin{eqnarray*} A = a \cdot h \end{eqnarray*}$ und forme weiter um, bis du bei der Formel angekommen bist.

07.05.2008, 20:03

Wrandy

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Zitat:

Original von tmo
fange an mit $\begin{eqnarray*} A = a \cdot h \end{eqnarray*}$ und forme weiter um, bis du bei der Formel angekommen bist.

hmm, ok, bin bis hierhin gekommen:
(in der darstellung hier ist jetzt gamma = phi, da es das phi hier ja nicht gibt)

$\begin{eqnarray*} A = a*h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = a * \sqrt{b²(1-cos²} \gamma ) \end{eqnarray*}$
dann das ganze quadrieren:
$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{a²*b²(1-cos²} \gamma ) \end{eqnarray*}$

Hmm, und nun wird das ganze sicher mit den Winkeln von Vektoren ausgedrückt, aber das sieht ja so aus:
a verknüpft mit b = $\begin{eqnarray*} \mid a \mid * \mid b \mid * cos\gamma \end{eqnarray*}$

07.05.2008, 20:20

tmo

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Mutlipliziere doch erstmal aus.

Beachte dann $\begin{eqnarray*} |a|^2 = a^2 \end{eqnarray*}$

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