Spiegelmatrix

22.12.2005, 15:19

Sunwater

Spiegelmatrix

hi...

ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die nur folgende Eigenschaften erfüllen soll:

(i) a² + c² = b² + d² = 1
(ii) ab + cd = 0

jetzt soll ich zeigen, dass die lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f_A : R^2 -> R^2 , x ->Ax \end{eqnarray*}$

eine Zusammensetzung aus einer Drehung und einer Spiegelung ist.

eine Drehung und eine Spiegelung ist ja wieder eine Spiegelung...
und es ist auch kein Problem nachzuweisen, dass eine Spiegelung die Eigenschaften von oben hat, aber aus den Eigenschaften folgt doch nicht, dass ich eine Spiegelung habe, oder?

also (i) bedeutet ja, dass folgende Kombinationen in Frage kommen:

(a,c) = (sin,cos) oder (cos,sin)
(b,d) = (sin,cos) oder (cos,sin)

also das einer von beiden immer der Sinus ist und der andere dann der Cosinus sein muss...

aus (ii) folgt nur, dass entweder ein Eintrag ein negatives Vorzeichen enthält oder 3 Einträge negativ sind...

dann sind die Eigenschaften auch schon erfüllt...

z.B. könnte ich auch eine Matrix bauen, die so aussieht:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} cos x & sin x\\ -sin x & cos x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - was ja eine Drehung sein müsste...

ist also jede Drehung auch eine Spiegelung?

oder allgemein, kann ich jede Matrix, die diese Eigenschaften hat durch die Beziehungen der Winkel so umformen, dass es irgendwie eine Spiegelung um einen bestimmten Winkel ist? - was meint ihr?

22.12.2005, 15:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist es ja so gemeint:

Zitat:

[...] eine Zusammensetzung aus einer Drehung und eventuell einer Spiegelung ist.

Zitat:

Original von Sunwater
ist also jede Drehung auch eine Spiegelung?

Definitiv nein. Eine reine Drehung erfordert eine Orthogonalmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \det(A)=+1 \end{eqnarray*}$ . Ist noch eine Spiegelung dabei, dann gilt $\begin{eqnarray*} \det(A)=-1 \end{eqnarray*}$ .

23.12.2005, 19:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Sunwater

Ich vermute, daß die Behauptung nicht ganz stimmt. Soll nicht vielmehr gezeigt werden, daß die gegebene Abbildung eine Drehung oder eine Spiegelung ist?

Es sollen ja gelten:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \text{(I)} & a^2 + c^2 = 1 \\ \text{(II)} & b^2 + d^2 = 1 \\ \text{(III)} & ab + cd = 0\end{matrix} \end{eqnarray*}$

Man quadriert $\begin{eqnarray*} \text{(III)} \end{eqnarray*}$ und ersetzt anschließend $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (*) \ \ \ a^2 b^2 + 2abcd +c^2 d^2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 (1 - d^2) + 2abcd +c^2 (1 - b^2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 - a^2 d^2 + 2abcd + c^2 - b^2 c^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ folgt hieraus:

$\begin{eqnarray*} a^2 d^2 - 2abcd + b^2 c^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ad - bc)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Dies zeigt für die Determinante:

$\begin{eqnarray*} \text{(IV)} \ \ \ ad - bc = \pm 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt geht es je nach Wert der Determinante weiter:

$\begin{eqnarray*} \text{Fall A:} \ \ \ ad - bc = -1 \ \ \ \ \ \ \text{Fall B:} \ \ \ ad - bc = 1 \end{eqnarray*}$

Im $\begin{eqnarray*} \text{Fall A} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} bc \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(IV)} \end{eqnarray*}$ ersetzt:

$\begin{eqnarray*} a^2 b^2 + 2ad (ad + 1) +c^2 d^2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 b^2 + 2a^2 d^2 + 2ad + c^2 d^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt wird $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ ersetzt:

$\begin{eqnarray*} a^2 b^2 + 2a^2 d^2 + 2ad + d^2 - a^2 d^2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 b^2 + a^2 d^2 + 2ad + d^2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 (b^2 + d^2) + 2ad + d^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Und das gibt wegen $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (a + d)^2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = -d \end{eqnarray*}$

Wenn du wieder in $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ beginnend anders ersetzt, kannst du entsprechend zeigen:

$\begin{eqnarray*} b = c \end{eqnarray*}$

Die Matrix hat somit die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Abbildung eine Spiegelung.

Und jetzt mußt du noch den $\begin{eqnarray*} \text{Fall B} \end{eqnarray*}$ behandeln. Dort ergibt sich

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also eine Drehung.

24.12.2005, 13:09

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

gut danke...

also die Aufgabe ist wirklich mit und gestellt und euren Ausführungen zufolge sicher auch falsch gestellt...

deswegen werde ich einfach eine Drehung angeben, als gegenbeispiel und zeigen, dass sie die gewünschten Eigenschaften hat... - das müsste reichen...

fröhliche Weihnachten

Sunwater

Neue Frage »

Antworten »

Spiegelmatrix

Verwandte Themen