harmonisches Signal

22.12.2005, 20:36

poiz

harmonisches Signal

Ich schreibe morgen eine Klausur über "Signale und Systeme". Beim Üben bin ich auf folgende Aufgabe gestossen:

Gegen ist das Eingangssignal $\begin{eqnarray*} u(t) = \sin(2*pi*v * t) \end{eqnarray*}$ (v = Frequenz, t = Zeit) eines linearen, zeitinvarianten Systems S mit der Impulsantwort $\begin{eqnarray*} g(t) = e^{-t} \end{eqnarray*}$ . Wie lautet das Ausgangssignal.

Ich bin mir nicht sicher, ob u(t) ein harmonisches Signal ist!? Sollte es doch eigentlich!? Dann würde ich mittels der Uebertragungsfunktion das System berechnen. Doch dazu müsste ich das Eingangssignal in der Form $\begin{eqnarray*} e^{j * omega * t} \end{eqnarray*}$ schreiben, was ich aber nicht weiss bzw. kann.

$\begin{eqnarray*} e^{j * omega * t} \end{eqnarray*}$ ist doch einfach $\begin{eqnarray*} \cos(omega * t) + \sin(omega*t)*j \end{eqnarray*}$ . Doch igrendwie stört mich der Cosinus...

Hoffe jemand kann mir helfen...

22.12.2005, 20:58

poiz

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oder anders gefragt:

Kann ich das harmonische Signal $\begin{eqnarray*} \sin(omega * t) \end{eqnarray*}$ in der Form
$\begin{eqnarray*} e^{omega * t * j} \end{eqnarray*}$ ausdrücken?

22.12.2005, 21:33

sqrt(2)

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Als $\begin{eqnarray*} e^{\mathrm{j}\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ .

Was ist eigentlich ein harmonisches Signal? Eines, dass nur aus Grundfrequenz und ganzzahligen Vielfachen dieser besteht? Dann ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ definitiv eines.

22.12.2005, 21:47

poiz

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klar, einfach die Phase verschieben... Schläfer

Im Skript ist es wie folgt definiert:
Das Testsignal sei periodisch, gegeben durch

$\begin{eqnarray*} u(t) = e^{j * w* t} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

mit dem reellen Parameter $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ .

22.12.2005, 21:54

sqrt(2)

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Zitat:

Original von poiz
klar, einfach die Phase verschieben... Schläfer

Was ich vergessen habe: Nur der Realteil ist deine Sinusfunktion! Mit der Umrechnungsformel zwischen algebraischer Form und Exponentialform erhältst du nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \sin(\omega t)\cdot e^{0j} \end{eqnarray*}$ -- klar, $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ muss bei einer reellen Zahl null oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein...

23.12.2005, 22:28

schnudl

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RE: harmonisches Signal

Zitat:

Dann würde ich mittels der Uebertragungsfunktion das System berechnen.

Wozu? (abgesehen davon dass Euer Ansatz sowieso falsch war...)

Du hast
1) Impulsantwort g(t)
2) Einganssignal u(t)

Ausgangssignal y(t) = ?

Hast du schon vom Faltungstheorem gehört ?
Multiplikation im Frequenzbereich entspricht Faltung im Zeitbereich.

$\begin{eqnarray*} y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)g(t-\tau)d\tau \end{eqnarray*}$

In deinem Fall da $\begin{eqnarray*} g(t) = 0 \quad \forall t<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t) = \int_{-\infty}^{t} sin(\omega \tau)e^{-(t-\tau)}d\tau \end{eqnarray*}$

Ergibt:

$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{1}{1+\omega^2}(\sin \omega t - \omega \cos \omega t) \end{eqnarray*}$

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