teilbarkeit mittels vollständiger induktion

23.12.2005, 17:57

penizillin

teilbarkeit mittels vollständiger induktion

hallo, liebe gemeinde!

löse gerade eine aufgabe zum leidigen thema "vollständige induktion" und wollte euch fragen, ob meine lösung so formal ok ist, oder ob es einen einfacheren rechenschritt gibt, der mir zum gleichen ziel bringt, wie der freitextkommentar (s.unten).

$\begin{eqnarray*} A(n): n^3+5n \end{eqnarray*}$ ist durch 6 teilbar.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall n \exists m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 6m = n^3+5n \end{eqnarray*}$

A(n) -> A(n+1)

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3+5(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = n^3+3n^2+3n+1+5n+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (n^3+5n)+3n^2+3n+6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 6m + 3(n(n+1))+6 (nach voraussetzung) \end{eqnarray*}$
(nun die umstrittene behauptung: ) das produkt zweier aufeinander folgenden natürlichen zahlen ist gerade (weil eine von ihnen gerade ist)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall n \exists r \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2r = n(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6m +3(2r) +6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 6(m+r+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (n+1)^3+5(n+1) \end{eqnarray*}$ ist durch 6 teilbar.

was haltet ihr davon?

vielen dank für eure aufmerksamkeit.

23.12.2005, 18:03

20_Cent

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klingt gut, die umstrittene behauptung ist richtig, da das produkt auf auf jedenfall den Primfaktor 2 enthält, wenn dieser schon in einer der beiden faktoren auftaucht.
mfG 20

23.12.2005, 18:04

Mazze

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Zitat:

(nun die umstrittene behauptung: ) das produkt zweier aufeinander folgenden natürlichen zahlen ist gerade (weil eine von ihnen gerade ist)

Was ist daran umstritten?

sei a eine natürliche Zahl und a+1 ihr Nachfogler so gilt

2 teilt a(a+1) da entweder a selbst durch 2 Teilbar ist oder aber die Zahl a+1 da a dann ungerade war.

damit ist dieses Produkt immer Gerade. Darfst Du so also verwenden. Zur Not zeigst Du es halt. Ansonsten sieht das so ganz gut aus, du hast den Induktionsanfang einfach mal wegelassen oder? (geht ja auch nur um den Schritt). Ich packs mal zu Algebra weil die eigentliche Aussage ja ne Teilbarkeitsaussage is.

23.12.2005, 18:12

penizillin

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(ja, der anfang ist absichtlich weggelassen worden)

nun ja - ich habe nach ähnlichen aufgaben gegoogelt und fand zu fast jeder aussage über die teilbarkeit einen beweis per v.i., in dem sich der vermeintliche teiler ohne substitution (außer dem, was nach voraussetzung gilt) - durch einfache rechenschritte - ausklammern ließ, womit die behauptung bewiesen war.

deswegen habe ich mich gefragt, ob es nicht etwas zu viel zauber um einen einfachen rechenschritt ist, der mir einfach nur entgangen ist.

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