surjektiv, injektiv

21.04.2004, 19:53	Lotte	Auf diesen Beitrag antworten »
surjektiv, injektiv Hallo ihr, wir haben gerade in der unserer "Arithmetik und Algebra"-Vorlesung das Thema "Abbildungen und Verkettungen" und sollen dazu ein paar Aufgaben bearbeiten. Nur habe ich keine ahnung, woran ich erkenne, ob eine Funktion surjektiv oder injektiv ist. Vielleicht könnt ihr mir sagen, wie ich das ganz einfach herausfinde und / oder anhand der untenstehenden Aufgaben erläutern. f: Z -> Z, f(n):=n^2+6n+5 für ganzes n g: No -> No, g(n):=n+(-1)^n1 für ganzes n h: Q -> Z, h(x):=(5x/3) für rationales x (sollen eckige Klammern sein) k: R -> R, xIxI für reelles x Vielen Dank schonmal im Voraus! Lotte
21.04.2004, 21:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
surjektiv, injektiv surjektiv = jedes Element des Bildbereichs wird durch die Abbildung erreicht injektiv = jedes Element des Bildbereichs wird höchstens einmal durch die Abbildung erreicht Zur ersten Abbildung: Punkte (n,f(n)) liegen auf einer Parabel. Alle ganzen Zahlen unterhalb des Scheitels (und viele viele weitere; Stichwort: irrationale Lösungen einer quadratischen Gleichung) werden durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv. Und natürlich auch nicht injektiv, da jeder vorkommende Bildwert (außer der Ordinate des Scheitels) zweimal angenommen wird; Symmetrie der Parabel!
21.04.2004, 21:33	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine Funktion heisst injektiv, wenn die Bilder verschiedener Punkte verschieden sind. Dies weisst man im allgemeinen nach, indem man sich 2 beliebige Punkte nimmt und voraussetzt, die Funktion nehme an diesen Stellen denselben Funktionswert an. Dann zeigt man, dass dann notwendig die beiden Punkte gleich sein müssen. Ganz anschaulich kannst du es dir so klarmachen: Wenn du die Funktion zeichnest und Parallelen der x-Achse durchlegst, dann duerfen diese jeweils nur einmal die Funktion schneiden. Z.B. ist die Funktion x -> x^2 von den reellen Zahlen in die positiven reelen Zahlen ist nicht injektiv, denn der Funktionswert 1 wird an den Stellen x=1 und x=-1 angenommen, d.h. die Parallele zur x-Achse y=1 schneidet die Funtkion an zwei Stellen. Die Surjektivitaet ist im allgemeinen nicht viel schwerer. Um nachzuweisen, dass eine Funktion surjektiv ist, musst du laut Definition zeigen, dass jeder Punkt im Wertebreich unter der Funktion (mindestens) ein Urbild besitzt. Oben genannte Funktion ist surjektiv (weil ich sie von den reellen Zahlen in die positiven reellen Zahlen habe abbilden lassen). Wuerde ich die gleiche Funktion x -> x^2 von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen abbilden lassen, so waere sie nicht mehr surjektiv, denn -1 besitzt kein Urbild unter der Funktion in den reellen Zahlen (denn die Wurzel aus -1 existiert bekanntlich in R nicht). Bildlich kannst es dir wieder vorstellen wie oben mit den Parallelen der x-Achse, nur diesmal musst halt prüfen, dass jede solche Parallele mindestens einen Schnittpunkt mit dem Graphen der Funktion hat. Gibts irgendwo gar keinen, ist sie nicht surjektiv. Aber pass auf, dass du deine Parallelen nur dort nimmst, wo Wertebereich ist (nicht dass du bei einer Funktion von N nach N damit argumentieren willst, dass die Parallele y=0.5 die Funktion nicht schneiden würde). Damit solltest du je kein Problem mit deinen Aufgaben mehr haben. @Leopold Jetzt hast mich etwas verwirrt. Das wird wohl überall unterschiedlich gehandhabt, was? Bildbereich... Wertebereich... Also ich meine mit Wertebereich das Ding auf rechten Seite. g Du anscheinend mit Bildbereich.
21.04.2004, 21:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach meiner Einschätzung wird das in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt. In der abstrakten Algebra ist der Bildbereich wohl die Menge rechts (bei f: A -> B also die Menge B), während man unter dem Wertebereich die Bildmenge von A versteht (also f(A)). Aber wie gesagt, das mögen andere anders sehen.
21.04.2012, 16:16	pedmog	Auf diesen Beitrag antworten »
[FONT=times new roman]ok. also berichtigt mich, wenn ich es zum 1000sten mal wieder falsch verstanden haben sollte bei SURJEKTIVität: untersuche ich die ZIELMENGE (Zielvorrat/Wertemenge oder wie man das auch noch auf 1000 andere arten nennen will)! wenn das BILD = ZIELMENGE dann surjektiv bzw. wenn JEDES Element in der ZIELMENGE durch das einsetzen eines Wertes aus der definitionsmenge im angegebenen funktion abgebildet wird... --- bei INJEKTIVität: untersuche ich das BILD wenn jedes Element im BILD durchs einsetzen von GENAU EINEM element aus der Defintionsmenge durch die funktion abgebildet wird.. dann habe ichs injektiv richtig? biiiitte! was aber wenn mein BILD ausserhalb von der Zielmenge liegt?! also wennsowas wie f : $\begin{eqnarray} \mathbb R \longrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ was ist damit... ist das nun surjektiv auch, weil ja jedes elemet aus der zielmenge getroffen wird...oder eben nicht weil das bild grösser ist als die zielmenge
21.04.2012, 18:29	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vorstellung von inj. und surj. sind IMHO ok., ich würde anstelle des Wortes "abgebildet" dann "erreicht" schreiben. So etwas wie $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb R \to \mathbb N \quad,~y =f(x)=x \end{eqnarray}$ ist (i.a) keine Funktion, denn nicht jedes $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ bekommt ein $\begin{eqnarray} y=f(x) \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , etwa $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ hat kein Bild. Bei $\begin{eqnarray} f(x)= 1 + \|\,[x]\,\| \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(x)= \|\,sign(x)\,\| \end{eqnarray}$ ist das jedoch der Fall. Dies sind Funktionen. Merke: Funktion ist Relation mit Eigenschaften linkstotal + rechtseindeutig. HTH
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