Konvergenz einer Matrixpotenz

24.12.2005, 12:22

stef123

Konvergenz einer Matrixpotenz

Ich habe ein Problem mit folgender Aussage

Sei A eine (n,n)-Matrix und $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow\infty} A^kv=o \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} |\lambda|<1 \end{eqnarray*}$ für alle Eigenwerte von A.

Nun folgende Aufgabe:
Die Umkehrung dieser Aussage gilt ebenfalls. Beweisen Sie das für jeden Eigenvektor von A.
Unterwelcher Vorraussetzung gilt dies für alle v.

Mir geht es um die Vorrausetzung für alle v. Muss die Matrix diagonalisierbar sein?
Eine Diagonalmatrix, bei der der Betrag aller Eigenwerte < 1 ist konvergiert ja immer gegen die Nullmatrix.

Ist meine Vermutung richtig?

25.12.2005, 00:57

Abakus

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RE: Konvergenz einer Matrixpotenz

Zitat:

Nun folgende Aufgabe:
Die Umkehrung dieser Aussage gilt ebenfalls. Beweisen Sie das für jeden Eigenvektor von A.

Diese Umkehrung gilt zunächst mal nur für jeden Eigenvektor, i.A. jedoch nicht für beliebige Vektoren.
Ein Beispiel dazu wäre eine Drehmatrix.

Zitat:

Unterwelcher Vorraussetzung gilt dies für alle v.

Mir geht es um die Vorrausetzung für alle v. Muss die Matrix diagonalisierbar sein?
Eine Diagonalmatrix, bei der der Betrag aller Eigenwerte < 1 ist konvergiert ja immer gegen die Nullmatrix.

Ist meine Vermutung richtig?

Deine Vermutung ist sicherlich hinreichend. Wenn die Matrix mit dieser Eigenschaft diagonalisierbar ist, gilt die Implikation.

Fraglich ist jedoch, ob die Vermutung auch notwendige Bedingung ist?

Dazu wäre als erstes zu fragen, über welchen Grundkörper diagonalisierbar meinst du hier?

Wenn du $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ meinst, ist deine Vermutung nicht notwendig und damit zu stark, betrachte etwa:

$\begin{eqnarray*} M~=~\begin{pmatrix} 2 & -4,25 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

M ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht diagonalisierbar, da die Eigenwerte 0,5 * i und -0,5 * i beide komplex sind.
Die Potenzen von M sollten hier dennoch gegen die Nullmatrix konvergieren.

Über die Voraussetzung diagonalisierbar über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ müsstest du noch nachdenken.

25.12.2005, 12:29

stef123

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Zitat:

Diese Umkehrung gilt zunächst mal nur für jeden Eigenvektor, i.A. jedoch nicht für beliebige Vektoren.
Ein Beispiel dazu wäre eine Drehmatrix.

Versteh ich nicht. Die Drehmatrix besitzt doch nur Eigenvektoren, wenn man um die Winkel 0° oder 180° dreht. In diesem Fall sind doch die Eigenwerte 1 oder -1, also betragsmäßig nicht kleiner als 1.

Wenn ich unendlich oft drehe, erhalte ich doch nicht den Nullvektor. Die Länge des gedrehten Vektors bleibt doch konstant.

25.12.2005, 14:06

Abakus

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Zitat:

Stimmt. Mein Fehler hier. Ich hatte über ein Gegenbeispiel nachgedacht, in dem die Umkehrung für alle v nicht gilt. So etwas müsste es ja geben, wenn noch zusätzliche Voraussetzungen für die Umkehrung notwendig sein sollen.

EDIT:
Nochmal genauer zur Drehmatrix. Drehen um etwa 90 Grad im Uhrzeigersinn hätte folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix hat keine reellen Eigenwerte und keine Eigenvektoren. Im Komplexen sind i und -i Eigenwerte.

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre die Bedingung der Umkehrung - mangels reeller Eigenwerte - ja erfüllt. Die Folgerung gilt aber nicht, da alle Potenzen von D wiederum Drehungen sind.
Insoweit ist das schon ein solches Gegenbeispiel.

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ betrachtet würden die Eigenwerte die Bedingung der Umkehrung nicht erfüllen.

25.12.2005, 14:11

stef123

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Ich suche ja schon nach einem Gegenbeispiel aber mir fällt keins ein. Das ist sicherlich so trivial, dass man nicht drauf kommt.

Kennst du eigentlich die zusätzliche Vorraussetzung für die Umkehrung? Es geht hier nur um Matrizen über den Körper der reellen Zahlen.

25.12.2005, 15:13

Abakus

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Ich habe oben editiert und die Drehmatrix nochmal betrachtet. Die wäre ein Gegenbeispiel. Knackpunkt ist bei der Aufgabe demnach, ob man es reell oder komplex betrachtet.

Die Bedingung, die mir mindestens vorschwebt, ist: alle (ggf. komplexen) Eigenwerte der Matirx sind betragsmäßig kleiner als 1.

25.12.2005, 16:19

stef123

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Aber das Problem kann doch auch schon bei der Urprungsaussage auftreten.

Wenn der Grenzwert gegen den Nullvektor strebt, heißt das doch nicht, dass daraus reelle Eigenwerte folgen, oder?

Mir ist mittlerweile die ganz Aufgabe suspekt. Habe folgende Seite im Internet gefunden

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...rlaeuterung328/

Demnach sind ja beide Aussagen äquivalent. Ich verstehe nur den Beweis nicht so richtig, weil wir Jordan-Form noch nicht in der Vorlesung hatten.

25.12.2005, 18:12

Abakus

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RE: Konvergenz einer Matrixpotenz

Zitat:

Wenn der Grenzwert gegen den Nullvektor strebt, heißt das doch nicht, dass daraus reelle Eigenwerte folgen, oder?

Nein, das heißt es nicht. Das zeigt schon das hier diskutierte Beispiel mit der Matrix M. Es bedeutet jedoch, dass alle Eigenwerte betragsmäßig kleiner als 1 sind.

Insgesamt also:

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine (n x n)-Matrix, dann gilt:

für alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow\infty} A^kv=o~~ \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ~|\lambda|<1 \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis sind beide Richtungen zu zeigen.
" $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ ": hast du schon gezeigt mit dem ersten Teil der Aufgabe, denke ich.

" $\begin{eqnarray*} \Longleftarrow \end{eqnarray*}$ ": hier wird bei dem von dir gefundenen Beweis (Link) die Jordansche Normalform benutzt.

Ggf. geht der Beweis auch mit anderen Normalformen, hier mal ein Versuch: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist zB ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix D, wobei die (ggf. komplexen) Eigenwerte alle auf der Diagonalen stehen (habt ihr sowas schon gehabt: Trigonalisierbarkeit?).

Es reicht jetzt aus, nur die Potenzen dieser Dreiecksmatrix zu betrachten. Es ist leicht zu sehen, dass mit $\begin{eqnarray*} T := D^{n} \end{eqnarray*}$ für wachsende n die Diagonalelemente von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen.

Du könntest jetzt induktiv über k zeigen, dass das für alle Elemente auf der k-ten Nebendiagonalen auch der Fall sein muss. (Die erste Nebendiagonale liegt direkt über der Hauptdiagonalen, die zweite liegt genau über der ersten usw.)
Dazu brauchst du dir nur die Formel für die Matrixmultiplikation anschauen und musst ausnutzen, dass du eine obere Dreiecksmatrix hast und bestimmte Elemente schon gegen Null konvergieren.

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