Betragsgleichung

25.12.2005, 20:22

zwoggel4711

Betragsgleichung

hier die Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} \mid x^2-x-6 \mid= \mid - \mid \frac{1}{10}x^2-1 \mid \end{eqnarray*}$

so jetzt hab ich zunächst mal x1/2 für die linke Seite der Gleichung ausgerechnet:

hab ich für x1= 2 und für x2= -3

dann habe ich 4 bedingungen :

1. x>x1>= 0
jetzt habe ich die Gleichung oben mit beiden Seiten positiv ausgerechnet. für x1= 2,63 und x2=-1,72, also ist x1 ne lösung ??!??

2. 0=<x<x1
hab ich ausgerechnet mit linker Seite der gleichung positiv und rechter negativ --> x1=-2,2; x2= 3,39 erfüllen beide die bedingung nicht

3. 0>=x>=x2
hier ausgerechnet mit beiden Seiten der Gleichung negativ
--> x1=1,72; x2=-2,63 x2 würde hier bedingung erfülen und wäre somit ne teillösung ??

4. 0>=x<x2
hier ausgerechnet mit linker seite positiv und rechter seite negativ
--> x1=3,39; x2=-2,28 beide erfüllen die bed. nicht

jo im endeffekt hätte ich als lösung

+/- 2,63

vermute aber es müssten 4 lösungen sein ???!??? hilfe wäre nett

bei bedarf kann ich meine ganze rechnung posten....

25.12.2005, 21:33

Mathespezialschüler

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Verschoben

Kannst du bitte deine Gleichung nochmal verbessern, damit auch alle wissen, worum es geht!? Danach kann dir sicher auch geholfen werden.

Gruß MSS

27.12.2005, 12:52

zwoggel4711

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wie verbessern ? ausgangsgleichung enthält keine fehler .... ????

27.12.2005, 12:57

grybl

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mid x^2-x-6 \mid= \mid - \mid \frac{1}{10}x^2-1 \mid \end{eqnarray*}$

auf der rechten Seite ist ein Betragsstrich zu viel

27.12.2005, 13:15

zwoggel4711

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oh sorry,

die gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} \mid x^2-x-6 \mid = \mid -\frac{1}{10}x^2-1 \mid \end{eqnarray*}$

27.12.2005, 13:41

Mathespezialschüler

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Ja, so ist es besser. Bei Betragsgleichungen ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung, das kannst du also erstmal machen. Ziehe dann das, was auf der rechten Seite steht, auf die linke und wende anschließend die dritte binomische Formel an. Dann hast du ein Produkt von zwei Faktoren und wann das 0 wird, dürfte bekannt sein.

Gruß MSS

27.12.2005, 13:55

zwoggel4711

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fallen beim quad. nur die betragsstriche weg, oder wird aus x^2 x^4 ??

(muss man hier keine fallunterscheidungen machen ??)

27.12.2005, 14:10

Mathespezialschüler

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Beim Quadrieren fallen die Betragsstriche weg und du musst auf beiden Seiten jeweils alles Quadrieren! Rechts kannst du noch das $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ wegnehmen. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} (x^2-x-6)^2=\left(\frac{1}{10}x^2+1\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun verfahre so, wie ich in meinem letzten Post sagte. Eine Fallunterscheidung ist bei diesem Lösungsweg nicht nötig. (Gerade deswegen ist er ja so "schön").

Gruß MSS

27.12.2005, 14:29

zwoggel4711

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dritte bin. formel ?

$\begin{eqnarray*} [(x^2-x+6)+(0,1x^2+1)]* [(x^2-x+6)-(0,1x^2+1)] \end{eqnarray*}$

sollte das stimmen, was es nicht tun wird Big Laugh

müsste ich dann einen der beiden null setzen, zb $\begin{eqnarray*} [(x^2-x+6)+(0,1x^2+1)] \end{eqnarray*}$

und x1/2 ausrechnen ?!?

27.12.2005, 14:57

Ben Sisko

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Erstmal quadrieren und alles auf eine Seite bringen.

Und überleg dir bitte, WARUM man hier keine Fallunterscheidung machen muss!

Gruß vom Ben

27.12.2005, 15:03

Mathespezialschüler

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Eine Gleichung sollte schon noch stehen bleiben:

$\begin{eqnarray*} \left(x^2-x-6+\frac{1}{10}x^2+1\right)\left(x^2-x-6-\frac{1}{10}x^2-1\right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nicht nur einen der beiden Faktoren 0 setzen, sondern beide.

Gruß MSS

27.12.2005, 15:06

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Eine Gleichung sollte schon noch stehen bleiben:

Ja, das hatte ich missverstanden, sorry@zwoggel, im Prinzip war's richtig.

27.12.2005, 15:14

zwoggel4711

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tja ich setze beide null dass heisst ich hab 2 gleichungen

linke seite (s.o.) = 0 und rechte seite = 0, wenn ich jetzt aber versuche das x auszurechnen ( mit abc formel ) bekomm ich nen neg. wert unter der wurzel :-(

27.12.2005, 15:19

20_Cent

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irgendwo auf der mitte der seite ist ein -6 zu +6 geworden... daran liegts.
mfG 20

27.12.2005, 15:26

Mathespezialschüler

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Sorry. War mein Fehler. Hab es nun geändert.

Gruß MSS

27.12.2005, 15:49

zwoggel4711

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ok hab jetzt 4 x werte raus, allerdings noch nicht richtigkeit überprüft.
is erstmal egal....

also: $\begin{eqnarray*} x_1 = 5,47 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-3,650 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=15,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4=-14,05 \end{eqnarray*}$

damit wäre die aufgabe zu ende ???

wieso musste man hier keine fallunterscheidung machen ??? geht das immer ??

27.12.2005, 15:52

20_Cent

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die werte sind falsch, hast dich irgendwo verrechnet...
solange du immer äquivalenzumformungen machst, geht das so, man braucht dann keine fallunterscheidung.
mfG 20

27.12.2005, 15:59

zwoggel4711

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ok ich denke somit habe ich die betragsgleichungen auch kapiert !

aber noch eine frage hätte ich, bei dieser aufgabe gab es ja 2 beträge. wenn die aufgabe nur einen betrag hat z.b.

$\begin{eqnarray*} \mid x+y \mid = z \end{eqnarray*}$ kann ich dann genau so vergehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \mid x+y \mid^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ damit die betragsstriche wegfallen ?? und muss ich immer die dritte binomische formel nehmen ?

27.12.2005, 16:25

Mathespezialschüler

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Wie 20_Cent schon richtig sagte, sind die Werte falsch. Überprüfe dies also nochmal!
Du musst natürlich nicht immer die dritte binomische Formel anwenden. Nur hättest du hier alles ausmultipliziert usw., dann wärst du auf eine Gleichung vierten Grades gekommen. Und solch eine willst du sicher nicht lösen.
Zur ersten Frage: Hier ist quadrieren nur eine Äquivalenzumformung, falls $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn das nicht gilt, kannst du aber vorher überprüfen, für welche Zahlen $\begin{eqnarray*} z<0 \end{eqnarray*}$ ist und dann betrachtest du danach nur noch diejenigen mit $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du Quadrieren.
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} |2x-3|=7-2x \end{eqnarray*}$ .

Zunächst untersuchst du, wann $\begin{eqnarray*} 7-2x<0 \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} x>\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt betrachtest du also nur noch $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ und kannst dann quadrieren. Am Ende musst du dann natürlich aufpassen. Denn hier kommt z.B. dann $\begin{eqnarray*} x=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ raus. Jetzt muss ma noch gucken, ob die erhaltene Lösung auch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x\leq\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ erfüllt. Wenn nicht, dann gibt es gar keine Lösung. Hier allerdings erfüllt sie diese Voraussetzung, sodass es eine Lösung ist. Letztendlich ist hier aber eine Fallunterscheidung mit enthalten und das Quadrieren ist auch keine echte Äquivalenzumformung mehr.

Gruß MSS

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