Kurvenintegral 2. Art

26.12.2005, 19:37

Kody

Kurvenintegral 2. Art

Hallo,
ich habe folgendes Problem: Berechnung eines Kurvenintegrals 1. Art funktioniert mitlerweile problemlos, aber jetzt bin ich auf folgende aufgabe gestoßen:
"Berechnen sie das Kurvenintegral 2. Art von f(x,y,z) längs der geradlinigen Verbindung C von P(0|0|0) nach Q (1|1|0)."
wobei f(x,y,z) natürlich gegeben ist. Wie bekomme ich nun meine Grenzen des Integrals, sowei die Parameterdarstellung (also quasi phi(t))??

Besten Dank

26.12.2005, 22:05

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenintegral 2. Art
Es reicht aus, wenn du einen stetig differenzierbaren Weg von P nach Q wählst (wie bisher auch bei Kurvenintegralen).

Entscheidend ist noch, dass der Bogen - hier also die Strecke von P nach Q - im Definitionsbereich von f liegen sollte (was hier nach Aufgabenstellung der Fall zu sein scheint).

Deine Integrationsgrenzen sind die Intervallgrenzen deiner Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \phi : [a, b] \rightarrow \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ .

27.12.2005, 02:04

Kody

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenintegral 2. Art

Zitat:

Deine Integrationsgrenzen sind die Intervallgrenzen deiner Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \phi : [a, b] \rightarrow \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ .

hi,
ja genau dort liegt mein problem. wie komme ich auf die parameterdarstellung, wenn ich jediglich die zwei Punkte und f(x,y,z) gegeben habe.
Sonst waren bei Kurvenintegralen 1. art immer die intervallgrenzen, sowie werte in der parameterdarstellung gegeben...

/edit: also gegeben ist f(x,y,z) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{y}{1+x²} \\ arctanx + ze^{yz} \\ ye^{yz} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

falls man das dafür brauch??? Mir brauchs ja niemand vorrechnen, aber vl könnte mir jemand explizit sagen wie ich damit nen Kurv.int. 2. Art bastel...

danke

27.12.2005, 02:39

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenintegral 2. Art
Bei der Parameterdarstellung hast du fast die freie Auswahl. Es sollte nur $\begin{eqnarray*} \phi(a) = P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(b) = Q \end{eqnarray*}$ sein, wobei $\begin{eqnarray*} \phi(t) = (\phi_1(t), \phi_2(t), \phi_3(t)) \in \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [a, b] \end{eqnarray*}$ .

Also wähle zB a = 0 und b = 1. Am naheliegensten ist hier vielleicht den Parameter t linear wachsen zu lassen, also zB: $\begin{eqnarray*} \phi(t) = (t, t, 0) \end{eqnarray*}$ .

Der Wert des Integrals hängt von der genauen Parameterdarstellung nicht ab (was du zB anhand anderer Parameterdarstellungen ausprobieren kannst).

Diese Parameterdarstellung brauchst du nur noch gemäß deiner Formel für das Kurvenintegral einsetzen. Teste es mal aus smile

27.12.2005, 10:16

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau diese Parameterdarstellung phi(t):=(t,t,0) wird sogar in der Aufgabenstellung gesucht:

Zitat:

Original von Kody

"Berechnen sie das Kurvenintegral 2. Art von f(x,y,z) längs der geradlinigen Verbindung C von P(0|0|0) nach Q (1|1|0)."

27.12.2005, 13:21

Kody

Auf diesen Beitrag antworten »

hey cool, danke ihr beiden. ich steig tatsächlich so langsam dahinter, hätt ich nie gedacht Augenzwinkern

27.12.2005, 16:42

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenintegral 2. Art
Das Ergebnis ist durchaus sehenswert:

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi}^{} f(x, y, z) \cdot d\chi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1} (\frac{t}{1+t²}, arctan(t), t) \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}(\frac{t}{1+t²} + arctan(t)) \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [t * arctan (t)]_{t=0}^{t=1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Kurvenintegral 2. Art

Verwandte Themen