Herleitung der Frenetschen Formeln

27.12.2005, 11:04	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Frenetschen Formeln Frohe Feiertage! Ich versuche gerade die Herleitung der Frenetschen Formeln nachzuvollziehen, d.h. die Formeln die das Vektor-Dreibein (Tangente T, Haupt-Normale N und Binormale B) einer Kurve in IR^3 darstellen. Gegeben: \|T\|=1, \|N\|=1, \|B\|=1, (sind also alle auf Länge 1 normiert) und $\begin{eqnarray} \langle T,N \rangle =0, \langle T,B \rangle =0, \langle N,B \rangle = 0 \end{eqnarray}$ (stehen alle senkrecht aufeinander). Ferner wird die Funktion (der Windung) $\begin{eqnarray} \tau : \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ auf dem Intervall I eingeführt mit $\begin{eqnarray} \tau(s):= - \langle \dot B(s),N(s) \rangle \end{eqnarray}$ . () So, nun ist die Ableitung eines konstanten Skalars ja gleich Null, also $\begin{eqnarray} 1 = \|B\|^2 = \langle B, B \rangle \Rightarrow \langle \dot B, B \rangle = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot B = \alpha T - \tau N \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha : I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ noch zu bestimmen ist. Den lila Teil vestehe ich nicht; beim probieren fiel mir auf dass bei $\begin{eqnarray} \tau N \end{eqnarray}$ das Kroneckerdelta $\begin{eqnarray} \delta_{i,j} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n_i n_j \end{eqnarray*}$ gelten muss, aber wie kommt das alpha T ins Spiel? Dank & Gruss, phi.
27.12.2005, 12:12	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie freu freu freu T, N, B bilden in jedem Punkt der Kurve eine orthonormale Basis des IR³ (genau genommen des Tangentialraumes des IR³, der aber isomorph zum IR³ ist). $\begin{eqnarray} \dot B \end{eqnarray}$ ist auch ein Vektor im IR³ er lässt sich also als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Ausserdem ist er orthogonal zu einem der 3, nämlich B. Damit hat man $\begin{eqnarray} \dot B (t)= \alpha(t) T(t) + \beta(t) N(t) \end{eqnarray}$ für geeignete Funktionen $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ Ausserdem ist $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ genau die Funktion $\begin{eqnarray} - \tau \end{eqnarray}$ weil das die Projektion eines Vektors auf einen Basisvektor ist. Das ist die klassische Identität für eine ONB (v1, .., vn) und einen Vektor x gilt: $\begin{eqnarray} x=\sum_i \langle x, v_i \rangle v_i \end{eqnarray}$
27.12.2005, 12:33	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Logisch, Linearkombination... Ja, die Berechnung von Länge , Krümmung und Windung von Haarlocken ist echt aufregend! Freu.

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