Bernoulisches Gesetz der großen Zahlen

27.12.2005, 12:10

Weihnachtsfrau

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Bernoulisches Gesetz der großen Zahlen

Hallo Leute, kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen???

Man möchte den Anteil p der Wähler von Partei A auf 1 Prozentpunkt genau feststellen, und dabei eine Sicherheit von mindestens 95% haben. Ermitteln Sie den notwendigen Umfang der Stichprobe.

27.12.2005, 13:30

Teutone

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Du kennst doch sicherlich die Formel: $\begin{eqnarray*} P(\mid \vec{X}-p \mid <c)\geq 1-\frac{1}{4nc^{2}} \end{eqnarray*}$
Hier setzt du einfach ein:
$\begin{eqnarray*} c=0.01 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(...)=0.95 \end{eqnarray*}$
und formst nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ um.

28.12.2005, 22:15

Weihnachtsfrau

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Also ich habe gerade das Problem, dass mir die Formel nicht wirklich bekannt vorkommt, sie aber sicherlich etwas mit folgender zu tun hat:

P({|Hn-p|>e} < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{p*(1-p)}{e^2} \end{eqnarray*}$

Leider verstehe ich Bernoulli kaum und kann mit dieser Formel deswegen nicht so viel anfangen. Das e steht übrigens für den griechischen Buchstaben epsilon und ist >0

28.12.2005, 23:13

Abakus

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Genau, es ist fast dieselbe Formel; deine Formel ist sogar etwas schärfer (aber du kennst das p nicht, sondern willst es ja erst schätzen):

es gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} P(|H_n-p|>\epsilon) = 1 - P({|H_n-p|\leq \epsilon}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p*(1-p) \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ (hier ist noch abgeschätzt worden)

Mit beidem folgt: (das c ist dein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} P(|H_n-p|<\epsilon) \geq 1- \frac{p*(1-p)}{n * \epsilon^2} \geq 1 - \frac{1}{4 * n * \epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Die Aussage der Formel ist, je größer du das n machst, desto sicherer kannst du dein p schätzen.

Dein Ansatz ist jetzt:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{4 * n * \epsilon^2} \geq 0,95 \end{eqnarray*}$

du weißt:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = 0,01 \end{eqnarray*}$
n = der gesuchte Umfang der Stichprobe

Also brauchst du die Ungleichung nur etwas umstellen, um n zu bestimmen.

EDIT: 2 Schreibfehler

28.12.2005, 23:38

Teutone

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Jep exakt, der springende Punkt ist eben, dass das Produkt $\begin{eqnarray*} p(1-p) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p=(1-p)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ seinen größten Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ annimmt.

08.01.2006, 22:18

smalldiver

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Hallo!

Könnte mir vielleicht jemand die Lösung erklären, ich blickt da nciht so ganz durch.
Ich kenne auch nur die Formel die die Weihnachtsfrau aufgeschrieben hat. Aber wie kommt ihr dann auf die Gleichungen? Den Rest versteh ich dann wieder.

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08.01.2006, 23:43

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Abakus
$\begin{eqnarray*} P(|H_n-p|>\epsilon) = 1 - P({|H_n-p|\leq \epsilon}) \end{eqnarray*}$

Das ist einfach die Komplementärwahrscheinlichkeit.

Zitat:

Original von Abakus
$\begin{eqnarray*} p*(1-p) \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ (hier ist noch abgeschätzt worden)

Bei dieser Ungleichung hilft die Differentialrechnung. Man kann zeigen, dass die Funktion f(p)=p*(1-p) für p=0,5 ein Maximum hat. Da f(0,5)=0,25, gilt die Ungleichung.

Hilft dir das schon weiter? Sonst frag noch mal genauer!

Gruß vom Ben

08.01.2006, 23:51

Mathespezialschüler

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Alternativ geht es auch so: Multipliziere die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ und hole alles auf die rechte Seite. Wende die binomische Formel an und du erhältst ein wahre Aussage. Die Umformungsschritte waren dabei alle äquivalente Umformungen.

Gruß MSS

08.01.2006, 23:59

Ben Sisko

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Das ist natürlich viel eleganter Freude

Freude

Aber eine gewisse Interdisziplinarität hat ja auch was... Big Laugh

Big Laugh

09.01.2006, 00:22

smalldiver

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Das hab ich verstanden. Danke

Hab noch ne Frage bezüglich:

$\begin{eqnarray*} 0,95 \geq \frac{1}{4 * n * \epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Warum muss man da die 1- weg lassen?

09.01.2006, 01:24

Ben Sisko

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Man will ja dass $\begin{eqnarray*} P({|H_n-p|\leq \epsilon}) \end{eqnarray*}$ mind. 95% ist und nicht $\begin{eqnarray*} P({|H_n-p| > \epsilon}) \end{eqnarray*}$ .

09.01.2006, 02:48

Abakus

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Es sollte sein: $\begin{eqnarray*} 0,05 \geq \frac{1}{4 * n * \epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist: $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{4 * n * \epsilon^2} \geq 0,95 \end{eqnarray*}$ .

(Ich hatte oben ein ">" umgedreht, jetzt ist es editiert.)

Grüße Abakus smile

smile

09.01.2006, 12:45

Ben Sisko

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Hallo Abakus,

vielleicht das nächste Mal das Ursprüngliche stehen lassen und die Korrektur nur daneben, wenn der Thread schon weiter fortgeschritten ist, damit man die nachfolgenden Posts noch versteht.

Gruß vom Ben

09.01.2006, 19:13

Abakus

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@ Ben: Entschuldigung, dass ich für Verwirrung gesorgt hab. traurig

traurig

Grüße Abakus

09.01.2006, 19:15

smalldiver

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Ich habe für Epsilon ~22,4 raus , stimmt das?

09.01.2006, 20:31

Abakus

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$\begin{eqnarray*} \epsilon = 0.01 \end{eqnarray*}$ ist vorgegeben. Auszurechnen ist der nötige Umfang der Stichprobe (also das n hier).

Grüße Abakus smile

smile

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