punktweise / gleichmäßige Konvergenz einer Summe

27.12.2005, 17:41

Toxman

punktweise / gleichmäßige Konvergenz einer Summe

Ich stehe vor einem kleinen Problem, dass wie folgt aussieht:
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sum_{k=1}^n~ \frac{(-x)^k}{k} \end{eqnarray*}$

Das Teil soll ich auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen.
Nach dem Skript weiss ich, dass
$\begin{eqnarray*} ln(1+x)=x+ \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{3} \pm = \sum_{n=1}^ \infty~ \frac{x^n}{n} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$
Also müsste meine Folge doch gegen -ln(1+x) konvergieren, oder?
Wenn ich das im GTR zeichnen lasse, sieht das um die 0 Herum sehr gut aus, nur ab etwa x=1 divergieren alle Teilsummen recht schnell vom ln weg.
Sieht jemand einen Fehler oder hat die Möglichkeit ein paar (hundert) Folgeglieder auszuwerten?

Vielen Dank schonmal

Nikolas

27.12.2005, 17:43

20_Cent

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kennst du das Wurzelkriterium?
das bietet sich hier an.
mfG 20

edit: hmm, ich hab übersehen, dass es sich um eine funktion handelt, nicht um eine Reihe... mit dem Wurzelkriterium kannst du bestimmen, für welche x die reihe divergiert, für welche x sie konvergiert.

27.12.2005, 17:46

Toxman

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Das Wurzelkriterium kannte ich bis jetzt nur in der Eigenschaft um zu zeigen, dass eine Reihe überhaupt konvergiert, jedoch nicht um zu zeigen, dass eine Reihe auf eine bestimmte Funktion zustrebt.

27.12.2005, 17:57

20_Cent

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ja, ich hatte mich ja auch vertan, siehe meinen edit.
mfG 20

27.12.2005, 19:43

mercany

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Hallo Toxmann.

Weißt du denn, was für die Funktionsfolge gelten muss, damit sie die Eigenschaften von punktweise bzw. gleichmäßiger Konvergenz erfüllt?

Gruß, mercany

27.12.2005, 21:11

Mathespezialschüler

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Verschoben

Das liegt ganz einfach daran, dass deine Formel nur für $\begin{eqnarray*} -1<x\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt (siehe noch einmal in dein Skript!). Auf welcher Definitionsmenge sollst du das denn untersuchen?

Gruß MSS

27.12.2005, 21:14

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natürlich muss auch bekannt sein,wann Potenzreihen gleichmäßig konvergieren.

Also der Reihe nach:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-x)^k }{k} \end{eqnarray*}$ ist für bestimme x konvergent. Benutze hier das Leibniz Kriterium.

Ob gleichmäßige Konvergenz vorliegt kann man z.B. dadurch ermitteln indem man schaut ob sich der Reihenrest abschätzen lässt.Siehe dazu ganz unten beim folgenden Link:

http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

28.12.2005, 00:31

Toxman

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Vielen Dank schon mal an alle.
Ich hatte ganz übersehen, dass die Aussage nur für x aus [0,1] gezeigt werden soll.
Ich werd mich morgen noch mal dransetzen und mich bei Problemen melden.

28.12.2005, 03:03

20_Cent

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Zitat:

Original von n!
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-x)^k }{k} \end{eqnarray*}$ ist für bestimme x konvergent. Benutze hier das Leibniz Kriterium.

ich bin zwar ziemlich müde, aber ich denke, dass man das mit dem wurzelkriterium besser hinbekommt...
mfG 20

28.12.2005, 09:27

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Zitat:

ich bin zwar ziemlich müde, aber ich denke, dass man das mit dem wurzelkriterium besser hinbekommt...
mfG 20

geht vielleicht auch mit dem Wurzelkriterium.Geschmackssache. Augenzwinkern

x^k/k ist ja monotone Nullfolge daher dachte ich sofort an Leibniz.

Beachten sollte man vielleicht noch,dass die Reihe nicht absolut konvergent ist.

28.12.2005, 14:28

Mathespezialschüler

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Irgendwie ist das ein ganz schönes Durcheinander hier. Das würde ich gerne mal aufbröseln.
@n!
In deinem ersten Beitrag wusstest du noch nicht, um welchen Bereich es hier überhaupt geht. Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ hilft das Leibnizkriterium z.B. nicht. Allerdings ist das natürlich jetzt durch Toxmans Information unwichtig. Und deine letzte Aussage, dass die Potenzreihe nicht absolut konvergiert, verstehe ich nicht ganz. Absolute Konvergenz ist (so kannte ich es zumindest bis jetzt) eine Eigenschaft von Zahlenreihen und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ ist diese Reihe absolut konvergent (das trifft für jede Potenzreihe auf dem Konvergenzintervall zu). Nur für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist sie es nicht.
@20_Cent
Was heißt "besser"? Beides führt direkt zu einem Teil des Ziels. Potenzreihen haben ja einen sogenannten Konvergenzradius und für den gibt es eine bzw. zwei Formeln, die sich aus dem Wurzel- bzw. Quotientenkriterium für Zahlenreihen ergeben. Siehe hier. Mit deiner Methode (das entspricht der Formel von Cauchy-Hadamard) bekommt man nur die Konvergenz für alle $\begin{eqnarray*} x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ .
n!s Vorschlag war insofern schlecht, als dass man da nur die Konvergenz für $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ bekommt. Aber wenn man beides zusammenführt, dann hat man die Konvergenz für alle $\begin{eqnarray*} x\in (-1,1] \end{eqnarray*}$ . Und so macht man das bei Potenzreihen ja normalerweise auch:
Erst bestimmt man mit einer der beiden Formeln den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray*}$ .

Dann konvergiert diese für $\begin{eqnarray*} |x|<r \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} |x|>r \end{eqnarray*}$ . Es bleiben noch die beiden Fälle $\begin{eqnarray*} x=r,x=-r \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Und da muss man dann meistens ein anderes Kriterium als das Wurzel- oder Quotientenkriterium anwenden. Und für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ war n!s Vorschlag hier genau richtig. Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ sieht man die Divergenz ja sofort ein.
@Toxman
Was jetzt die glm. Konvergenz angeht: Ich denke, dass n!s Tipp mit der Restgliedabschätzung hier sehr gut helfen kann. Eine andere Möglichkeit fällt mir im Moment auch nicht ein.

Gruß MSS

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