Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen

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Marx Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen
Musterbeispiel:

Angabe:

(1) 2x+6y+z=9
(2) 3x-2y+2z=3
(3) -x+3y-z=1
_______________________________

Lösung:

(1) 2x+6y+z=9 . (-2) Gleichung (1) wir mit (-2) multip. und zu
(2) 3x-2y+2z=3 Gleichung (2) addiert (ergibt (4))Weiters
(3) -x+3y-z=1 werden die Gleichungen (1) und (3)
addiert (ergibt (5))
(4)-x-14y = -15
(5) x+9y = 10 Gleichung 4 + 5 ergeben zusammen 6
(6) -5y = -5

y = 1
__________
__________


________________________________________________________

Jetzt zu meiner Problemstellung:

Bsp.723a.)

Angabe:

(1)3x-2y -3z = 16
(2)x+y+z = 7
(3) 4x -3y + 2z = 13

Mein Lösungsvorschlag:

also ich wurde Gleichung (1) mit 2 multiplizieren (2) mit 6 und Gleichung (3) mit 3 multiplizieren... ist das richtig????????
Wenn nein!! - wie finde ich am besten den richtigen Nenner zum Eliminieren heraus?

Muss ich nur die Gleichung 1 u. 2 auf einen gemeinsamen Nenner (also sprich wie im Musterbeispiel: -2z + 2z) bringen? Oder muss ich die 3. Gleichung in diesen Fall auch beachten?
Da ich sie ja sonst nicht mehr Eliminieren kann!!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wähle dir stets EINE variable, die du eliminieren willst, also z.b. zunächst x
wähle dann eine geeignete zeile zum eliminieren

hier würde ich die zweite zeile empfehlen, da x hier mit koeffizient 1 dasteht
ziehe dann das 3 bzw. 4 fache der zweiten zeile von der ersten bzw. zweiten zeile ab und schwupps sind da die x verschwunden
zeile 2 musst du dabei selbst gar nicht verändern!
 
 
demhansseinewurst Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist vollkommen egal wie man LGS löst, solagen es richtig ist. Augenzwinkern

Du kannst die Gleichungen als Matrix auffassen, deren erste 3 Spalten/Zeilen du in Stufenform bringen musst. (mit dem Gauß-Verfahren)


Oder du addierst einfach die einzelnen Zeilen zusammen und eliminierst so.

Dann könntest du 3*(2) von (1) subtrahieren
und dann 4*(2) von (3) subtrahieren.
dann könntest du die dann neu entstandenen zeilen (1) u. (3) so voneinander abziehen, dass du einen ausdruck mit z erhällst, dann kannst du z überall einsetzen und hast nur noch 2 Variablen zu eliminieren. Was dann kein Problem mehr darstellen sollte.
Fassi Auf diesen Beitrag antworten »

Oder du kannst hingehen und, sofern du nicht auf das Additiionsverfahren setzen willst, die erste Zeile nach einer Variabelen auflösen und dann in die anderen beiden einsetzen und dann wieder eine nach einer Variabelen auflösen und einsetzen und zurückrechnen.


Oder ein Programm dafür bemühen
Marx Auf diesen Beitrag antworten »
Habs wie im ersten Beitrag zum Lösen probiert....bitte Kontrollieren. Ist immer noch nicht richtig
Habs jetzt probiert:

(1) 3x -2y -3z = 16 *(-3)
(2) x+y + z = 7
(3) 4x -3y +2z = 13 *(-4)

Also:

(1) -x+6y + 6z = -48
x +y + z = 7 (1) minus (2)
__________________________
(4) + 7y + 7z = - 41

(3) +12y -8z = - 52

= 19y -z = 93 (3+4)

Bitte Kontrolle!!! Leider hat sich immer noch ein Fehler eingeschlichen.
Danke
faleX Auf diesen Beitrag antworten »

sehr verwirrend! 3*(-3) ist nicht 1 [wenn ich das richtig sehe in (1)]
mehr wollt ich mir nicht anschauen
Fassi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde leider sagen, dass du direkt im ersten Schritt einen Fehler gemacht hast.

Statt mit -3 zu multiplizieren, hättest du durch -3 dividieren müssen um auf ein x zu kommen, was du ja eleminieren wolltest.
Desweiteren ist deine Umformung von der Urform von (1) auf deine zweite Form von (1) recht kurios. mal mit -3 multipliziert, mal dividiert, mal mit -2 multipliziert. Also, wenn musst du mit allen Summanden das gleiche machen.

Durch passende Subtraktion solltest du eine Variable in allen restlichen Gleichungen eleminieren, damit du dann aus den verbleibenden wieder eine Variable rauskicken kannst und auf ne eindeutige Lösung kommst.
Marx Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt (1) hernehme und mit : (-3) dividiere

also:

3x -2y -3z = 16 dividiert durch - 3

dann ist 3x = - x

wie schauts mit - 2y aus ? Was kommt da raus wenn ich es durch (-3) dividiere?

und -3z ist dann + z !?!?!? Stimmt das???

und 16 durch (- 3) ist 5,333!!? Also kann ich die erste Gleichung ja gar nicht stimmen!!!
Marx Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Sorry bezüglich der vielen Fragen: Aber es ist mein 1.Sem. in Mathe!!

Kann mir jemand das Beispiel event. mal vorrechnen damit ich es anschließend nachvolziehen kann.
Fassi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marx
Wenn ich jetzt (1) hernehme und mit : (-3) dividiere

also:

3x -2y -3z = 16 dividiert durch - 3

dann ist 3x = - x



jup, stimmt

Zitat:

wie schauts mit - 2y aus ? Was kommt da raus wenn ich es durch (-3) dividiere?


wenn 3 : -3= -1 ist, was kommt dann bei -2 : -3 heraus
Tipp: Solche Zahlen würde ich immer als Bruch schreiben

Zitat:

und -3z ist dann + z !?!?!? Stimmt das???

jup

Zitat:

und 16 durch (- 3) ist 5,333!!? Also kann ich die erste Gleichung ja gar nicht stimmen!!!

Auch hier würde ich das wieder als - 16/3 schreiben

Warum kann die Gleichung nicht stimmen?
Marx Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsweg
Lösungsweg

(1)3x-2y -3z = 16
(2)x+y+z = 7
(3) 4x -3y + 2z = 13

Könnte jemand so nett sein u. mir den Lösungsweg mal zeigen?!
Das wäre echt super.
Anschließend probiere ich es bei einen anderen Beispiel aus.

Danke im Voraus.
Marx
Fassi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,
erster Schritt wäre für mich die Gleichung (1) mit (- 1/3) zu erweitern, dann würde da in etwa folgendes rauskommen


dann das veränderte (1) und (2) addieren:

die Gleichung nenn ich jetzt mal (4)

Nun würde ich die Urgleichung von (1) mit (- 4/3) erweitern

und das dann mit (3) addieren

Das wäre dann Gleichung (5)

Nun Gleichung (5) mit 5 erweitern

und (4) und (5) addieren


Damit wäre z klar bestimmt und man kann durch einsetzten in (4) oder (5) y rausbekommen und durch einsetzen von y und z in (1) oder (2) oder (3) hättest du dann dein x



btw:
Keine Gewähr auf Tippfehler
bounce Auf diesen Beitrag antworten »

okay zu deiner Aufgabe: Mein Lösungsweg wäre die II*(-3) dann I+II dann haste eine Gleichung mit 2 Variablen dann brauchst du nochmal dasselbe da würde ich die I*(-4) +III*(3) dann haste 2 neue GLeichungen dann kannste eine Variable ausrechnen und dann wieder einsetzen bis du halt alle hast : ) mache die Probe dann weißt du ob du richtig gerechnet hast

mfg glaubn et das es hier erwünscht ist wenn ich den Lösungsweg komplett poste

cya

edit: hierm al die Lösungen wenn ich mich net verechnet habe : )

x = 23/4
y = 5/2
z = -5/4
Fassi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bounce

edit: hierm al die Lösungen wenn ich mich net verechnet habe : )

x = 23/4
y = 5/2
z = -5/4


Sagt mein TR auch
zwoggel4711 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde die cramersche regel benutzen, der rechenaufwand ist zwar unter umständen etwas größer, dafür kannst du aber immer nach dem gleichen schema vorgehen.

bei bedarf werd ich mal die rechnung posten....
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