Tangentialebene

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eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialebene
Moin moin

Folgendes Problem:

Gegeben ist eine Kugel auf einer Ebene, von der man den Mittelpunkt, den Radius und den Punkt, wo die Kugel auf der Ebene liegt, weiß. Ferner ist die Ebene ebenfalls gegeben. Nun soll eine Gerade, von der man nur den Richtungsvektor weiß, die Kugel berühren und den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene ausrechnen. Der Berührpunkt ist nicht bekannt.

Kann man das lösen? Wenn ja, wie? Augenzwinkern Danke für eure Hilfe!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene
Zitat:
Original von eselfarm
Moin moin

Folgendes Problem:

Gegeben ist eine Kugel auf einer Ebene, von der man den Mittelpunkt, den Radius und den Punkt, wo die Kugel auf der Ebene liegt, weiß. Ferner ist die Ebene ebenfalls gegeben. Nun soll eine Gerade, von der man nur den Richtungsvektor weiß, die Kugel berühren und den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene ausrechnen. Der Berührpunkt ist nicht bekannt.

Kann man das lösen? Wenn ja, wie? Augenzwinkern Danke für eure Hilfe!


wenn die betonung auf DEN berührpunkt liegt, eher nicht.
wenn du irgendeinen suchst, eher ja.
 
 
eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »

Moin

Vllt habe ich es etwas schlecht formuliert. Der Berührpunkt ist eigentlich egal, hauptsache die Gerade berührt die Kugel und schneidet die Ebene. Der Schnittpunkt mit der Ebene ist interessant. Hilft das weiter? Augenzwinkern Danke
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei M Mittelpunkt der Kugel
Um den Berührpunkt B von Gerade und Kugel zu ermitteln könntest den Punkt B der Geraden so bestimmen, dass MB und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander stehen (Skalarprodukt null setzen). Denn wenn die Gerade die Kugel berührt , fungiert sie als Tangente und steht damit senkrecht zum Radius(vektor).

Gruß Björn
eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »

Moin

Ja, mithilfe des Berührpunktes könnte man dann einfach eine Gerade basteln und den Schnittpunkt mit der Ebene bestimmen. Aber wie geht das mit dem Skalarprodukt? Sry aber steh grad aufm Schlauch!^^

M (12/7/1,5)
r= 1,5
Richtungsvektor : (0/-4/-3)

Ich weiß, den Vektor schreibt man untereinander, aber hab das auf die Schnelle nicht hinbekommen. Augenzwinkern Danke!!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Weisst du denn was man unter dem Standardskalarprodukt versteht bzw was gelten muss wenn 2 Vektoren senkrecht zueinander stehen ?
eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »

Also Standartskalarprodukt hab ich noch nie gehört aber was gelten muss, weiß ich, dass es 0 sein muss oder?

Wenn man das Skalarprodukt auflöst, bekommt man ja ne Gleichung mit 2 Unbekannten (mit allen Punkten und Vektoren eingesetzt). Kann man dann einer Unbekannten einfach einen Wert zuweisen, bzw. 0 setzen, um die Gleichung zu lösen?

Danke und Gruß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der variable Berührpunkt eh egal ist dann kannst du dir sicherlich Koordinaten vorgeben und dann nach der letzten Unbekannten auflösen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn eh alles egal ist, würde ich es so machen:
suche dir IRGENDEINEN punkt der kugel(oberfläche) als aufpunkt der geraden und hänge den ominösen richtungsvektor an, und schon hast du die/ eine gerade, die du mit E schneiden kannst.
suchst du alle schnittpunkte,wirst du vermutlich in der regel eine ellipse als schnittfigur bekommen verwirrt
eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Ich bekomm da irgendwie nur Müll raus... Tut mir leid, aber könntest du mir evt. einen Punkt nennen? Ich bekomm das irgendwie nicht hin...
eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »

ALLES ist nicht egal, die Gerade muss die Kugel schon berühren... Also gibt es ja nur 2 Möglichkeiten, richtig?

Die Ebene heißt übrigens X1=12
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eselfarm
ALLES ist nicht egal, die Gerade muss die Kugel schon berühren... Also gibt es ja nur 2 Möglichkeiten, richtig?

Die Ebene heißt übrigens X1=12


na schon klar, das hat dir ja bjoern schon hingemalt, das entsprechende skalarprodukt muß null sein. damit bleibt immer noch ein kreis als schnitt der kugel mit der ebene durch M mit dem richtungsvektor der geraden als normalenvektor. daher ein zylinder, in dem die kugel steckt ........, also ein paar mehr möglichkeiten als 2, wenn ich nicht ganz falsch liege.

mal doch mal den ganzen mist hier rein, also K; E und ,
wenn du es so nicht siehst unglücklich
eselfarm Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich fang einfach noch mal von vorne an...^^

Eine Kugel liegt auf der x-y-Ebene auf R (12/7/0) mit dem Radius r=1,5 und dem daraus entstehenden Mittelpunkt M (12/7/1,5). Auf diese Kugeln treffen jetzt parallele Sonnenstrahlen in Richtung (0/-4/-3). Ich soll jetzt den Punkt des Schatten der Kugel berechnen, der auf die Ebene X1=12 trifft und am weitesten von R entfernt ist. Soweit die Aufgabe.


Dazu dachte ich mir halt, dass man den Berührpunkt der Sonnenstrahlen mit der Kugel ausrechnet, dann eine Gerade daraus bastelt und dann den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene X1=12 berechnet, da dieser Punkt ja logischerweise am weitesten von R weg ist oder?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

entweder verstehe ich nur bahnhof oder hauptbahnhof verwirrt

da gibt es doch keinen schatten verwirrt

ich vermute daher, man soll die 2 punkte B1 und B2 in der ebene E: x = 12 bestimmen.
das ganze läßt sich dann am einfachsten 2 dimensional lösen.

auch in der 3D-variante kommt erstaunlicherweise dasselbe raus unglücklich
Gwunderi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist gar nicht erstaunlich, dass in der 3D-Variante dasselbe rauskommt.
Die Ebene x=12 geht ja genau durch den Kugelmittelpunkt (12/7/1,5). Also kann man bei x=12 einen Schnitt durch Kugel und darunterliegende Ebene machen, wodurch man einen Kreis in der (zweidimensionalen) y-z-Ebene erhält, mit Mittelpunkt in (7/1,5). Er berührt die y-Achse im Punkt (7/0).
Der Sonnenstrahlen haben freundlicherweise auch den Richtungsvektor (0/-4/-3). Setzt man ihn irgendwo in der y-z-Ebene an, bleibt er auch in dieser Ebene, da die x-Komponente ja = 0 ist.
Das Ganze lässt sich also bequem zweidimensional berechnen.

Wir müssen also erst die Tangente an den Kreis mit der Steigung des Richtungsvektors (-4/-3) finden. Am besten, indem man einen dazu senkrechten Vektor der Länge r=1,5 an den Mittelpunkt des Kreises ansetzt. Dort wo er den Kreis berührt, liegt der erste Schnittpunkt B1.

Dann den Richtungsvektor (-4/-3) der Sonnenstralen an B1 ansetzen und berechnen, wo dieser die y-Achse schneidet, bei (y/0).

Der gesuchte Punkt ist dann (12/y/0). Meine Berechnugen ergeben für y=2,5, dürfte gemäss Zeichnung auch stimmen : )

P.S.: Das Bild von Riwe war in der vorigen Ansicht für mich gar nicht sichtbar, habe es erst nach dem Posten gesehen - tröstlich: habe für B1 auch (6,1/2,7) raus ...
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