Gruppe oberer Dreiecksmatrizen

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe oberer Dreiecksmatrizen
Schönen Tag,

wir betrachten die Gruppe G der oberen 2x2 Matrizen der Form



Wie finde ich nun alle Elemente endlicher Ordnung? Und welche Ordnung haben Sie?

Ich verstehe derzeit die Aufgabenstellung nicht! Kann mir jemand weiterhelfen. Endliche Ordnung heißt doch in diesem Fall ich muss diese Matrix potenzieren und bzgl. der Matrixmultiplikation und dann gucken wann die Einheitsmatrix herauskommt. Ist das die Frage für welche Elemente a,b,c das möglich ist oder wie?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Endliche Ordnung heißt doch in diesem Fall ich muss diese Matrix potenzieren und bzgl. der Matrixmultiplikation und dann gucken wann die Einheitsmatrix herauskommt. Ist das die Frage für welche Elemente a,b,c das möglich ist oder wie?

Genauso ist es. Diagonalisierung der Matrix (falls möglich) wäre z.B. eine Möglichkeit, das herauszufinden.
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut danke,

noch eine allgemeine Frage. Die Einheitsmatrix ist ja ein Element dieser Gruppe und hat die Ordnung 1 oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und wie immer das einzige Element der Ordnung 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Induktion sieht man sofort, daß für und gilt:

wo der Stern für irgendeinen nicht weiter interessierenden Eintrag steht. Bei der Frage nach den Matrizen endlicher Ordnung schränkt das die Möglichkeiten für und stark ein. Fallunterscheidung: gerade, ungerade.

EDIT
in der zweiten Matrix durch ersetzt. Danke, DGU!
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst c^n in der zweiten Matrix
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

vielen Dank für den Tip. Allerdings ist mir nicht ganz klar worauf du hinaus möchtest, die Umformung habe ich bereits per Induktion gezeigt. Vielleicht habe ich jetzt auch ein grundsätzliches Problem, aber laut Angabe sind a,b,c aus den reellen Zahlen und da gibt es ja kein Element a wo gelten könnte: außer eben die eins selbst, also bleibt doch als einziges Element endlicher Ordnung in meiner Gruppe G die Einheitsmatrix übrig oder täusche ich mich?

Außerdem weiß ich nicht worauf du mit ungeradem und geraden n hinaus möchtest un warum ist dieser Eintrag oben rechts so uninteressant? Der muss doch gerade irgendwann null werden, damit die Einheitsmatrix dastehen kann, oder?

Fragen über Fragen, Sorry verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, gesucht sind die Matrizen endlicher Ordnung. Für die gibt es eine kleinste ganze Zahl , so daß wird ( sei die Einheitsmatrix).

Ein Vergleich zeigt nun:



Wenn nun ungerade ist, folgt . Wir können daher neu ansetzen:

Wieder mit Induktion folgt:

Aus einem Vergleich von mit folgt:

Fazit: Einziger Kandidat für eine Matrix endlicher ungerader Ordnung ist . Nun hat aber auch die Ordnung 1. Damit haben wir erneut gefunden, was wir sowieso schon lange wußten. Mit dem Fall ungerade sind wir durch.

Ist aber nun gerade, so folgt oben: und . Damit gibt es vielleicht weitere Kandidaten für Matrizen endlicher gerader Ordnung. Da sind jetzt mehrere Fälle zu unterscheiden. Aber du sollst ja auch noch etwas zu tun haben ...
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mal schön erklärt und damit kann ich jetzt auch was anfangen und habe gerne noch was zu tun. Zum Glück lag ich mit der Einheitsmatrix gar nicht so verkehrt. Die anderen Fälle werde ich jetzt dann mal durch gehen, bei evtl. Unklarheiten würde ich mich nochmal melden.

Mfg
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

So, habe die Matrizen jetzt alle gefunden. Es gibt max. Elemente zweiter Ordnung. Und diese Matrizen mit endlicher Ordnung zusammen mit dem neutralen Element bilden ja eine sog. Torsionsgruppe nicht wahr?
Diese Gruppe ist jedoch keine Untergruppe, da G nicht abelsch ist. Meinst du das reicht als Begründung oder gibt es auch nicht abelsche Gruppe wo eine Torsionsgruppe tatsächlich eine Untergruppe ist?

Eigentlich ganz nett die aufgabe Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Diese Gruppe ist jedoch keine Untergruppe, da G nicht abelsch ist.


Könntest du diese Begründung weiter ausführen. Ich verstehe sie nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Und diese Matrizen mit endlicher Ordnung zusammen mit dem neutralen Element bilden ja eine sog. Torsionsgruppe nicht wahr?
Diese Gruppe ist jedoch keine Untergruppe, da G nicht abelsch ist.


So kann man das natürlich nicht sagen. Du kannst nicht etwas Torsionsgruppe nennen und gleich darauf davon behaupten, es sei keine Gruppe.
Richtig ist wohl, daß im abelschen Fall die Torsionselemente immer eine Untergruppe bilden. Im nichtabelschen Fall braucht das nicht so zu sein.

Und in der Tat kann man Matrizen der Ordnung 2 finden, deren Produkt keine endliche Ordnung hat. Probiere das einmal.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Und in der Tat kann man Matrizen der Ordnung 2 finden, deren Produkt keine endliche Ordnung hat.


Danke. Natürlich.
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