Minorantenkriterum klappt einfach nicht

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fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »
Minorantenkriterum klappt einfach nicht
Hallo,
ich bin am Verzweifeln, ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:


Laut meinem Prof gehts am Besten mit dem Minoranten- oder Majorantenkriterium (was es letztenendes ist, sagt er mich (noch) nicht)
Ich kann machen was ich will, ich bekomme entweder
oder
heraus.
In beiden Fällen wiederspricht es sicht, da es entweder größer einer divergenten oder kleiner einer konvergenten sein sollte. Hier ist es aber vertauscht....

Kann mir jemand helfen??

Danke!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach die höchsten Potenzen rausziehen, dann steht da



Der zweite Faktor konvergiert gegen 1, also kann man für das Summenglied nach oben durch abschätzen.
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das klingt doch schon mal sehr vernünftig smile
Allerdings kann ich mit dem zweiten Teil deiner Aussage nix anfangen. Wo kommt jetz die 2 her??
Wenn ich mir den ersten Teil ansehe, fällt mir die eine Reihe mit 1/q^s ein, die konvergiert wenn s>1 ist und divergiert wenn s<1 ist und würde daraus die Konvergenz folgern... Allerdings sagt Maple, dass sie divergent ist....

Und noch was: Was genau bedeutet das "durch oben abschätzen"? Heißt das, man muss einfach ein k>k0 einsetzen? also in diesem Fall 2?

Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fenderbender
Hm, das klingt doch schon mal sehr vernünftig smile
Allerdings kann ich mit dem zweiten Teil deiner Aussage nix anfangen. Wo kommt jetz die 2 her??

Das ist wurst, ob da 2 , 3, 587666 oder auch 1.1 steht: Aus der Aussage



kann man nun mal folgern, dass es für jede Zahl ein (von b abhängiges) gibt mit

für alle . Das folgt einfach aus der Definition des Grenzwertes!

Zitat:
Original von fenderbender
Was genau bedeutet das "durch oben abschätzen"?

Nicht "durch oben", sondern "nach oben" !!! Immer diese Verstümmelungen. böse

Das ist nur eine andere Formulierung für die Ungleichung

für alle
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, wenn ich jetzt ein bisschen auf dem Schlauch stehe,
aber es ist doch so, dass

genau dann konvergiert, wenn, wie im Ergebnis von dir Vorgeschlagen, das s größer als 1 ist, d.h wir suchen nach der Majorante. Um dies zu erfüllen, müsste der Faktor davor dann aber doch kleiner als 1 sein. Er ist aber bei kleinen k größer als 1 und bei k gegen unendlich =1 und somit kommt wieder mein altes Problem zum Vorschein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fenderbender
Um dies zu erfüllen, müsste der Faktor davor dann aber doch kleiner als 1 sein.

Welchen Faktor vor was meinst du? verwirrt
 
 
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von fenderbender
Um dies zu erfüllen, müsste der Faktor davor dann aber doch kleiner als 1 sein.

Welchen Faktor vor was meinst du? verwirrt


der Faktor vor dem
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und was ist mit dem? Solange das eine Konstante ist, ist der - was die Konvergenz angeht - völlig unerheblich.
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ja und was ist mit dem? Solange das eine Konstante ist, ist der - was die Konvergenz angeht - völlig unerheblich.


hm, dann hab ich wohl das ganze Kriterium nocht nicht so richtig verstanden.
Ich gehe dabei immer so vor, dass ich mir das ak anschaue und alle k ausklammere, bis etwas in der Form
(1) konst * 1/k oder
(2) konst * 1/k^2
da steht und dann schaue ich mir die konst an für k->unendlich und wenn diese dann im Falle (1) >1 ist, ist es nach dem Minorantenkriterium divergent und im Falle (2) ist es nach dem Majorantenkriterium konvergent.
Am Verzweifeln bin ich dann immer, wenn das <,> Zeichen genau vertauscht ist. Dann weiß ich nicht mehr weiter. So wie bei dieser Aufgabe.
Bei mir scheitert es wohl an der folgerung...
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fenderbender
da steht und dann schaue ich mir die konst an für k->unendlich und wenn diese dann im Falle (1) >1 ist, ist es nach dem Minorantenkriterium divergent

Das ist falsch.
Die Reihe divergiert ebenso für oder jede andere reelle Zahl!

Soweit ichs richtig verstanden habe stört dich die 2 in


Du weißt aber, dass
konvergiert! Dann muss aber auch die andere Reihe konvergieren, denn

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fenderbender
und dann schaue ich mir die konst an für k->unendlich

Obendrein: eine Konstante für k gegen unendlich, welchen Sinn sollte das haben? verwirrt
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von fenderbender
und dann schaue ich mir die konst an für k->unendlich

Obendrein: eine Konstante für k gegen unendlich, welchen Sinn sollte das haben? verwirrt


Ja, ich meinte, für k gegen unendlich wird es zu einer Konstanten, also wie hier wird es zu 1. Wusste nicht wie ich das ausdrücken soll.

Aber irgendwie wirds nicht leichter für mich.
Ich beschränke mich jetzt mal auf Majorantenkriterium.
Es heißt doch, wenn ak<bk, wobei Summe(bk) eine bekannte konvergente Reihe ist, dann ist auch Summe(ak) konvergent.
Meiner Meinung nach ist ak aber nur dann kleiner bk, wenn ich es auf die Form bringe:
ak=c*bk mit c kleiner 1. Und da muss irgendwo mein Problem versteckt liegen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also das ganze nochmal von vorn. Es ist:



Die Ungleichung gilt dabei für alle k >= k_0, wobei k_0 geeignet gewählt werden kann, da der Term gegen 1 konvergiert.

Setze , dann ist und fertig ist die Laube.

Zitat:
Original von fenderbender
Meiner Meinung nach ist ak aber nur dann kleiner bk, wenn ich es auf die Form bringe:
ak=c*bk mit c kleiner 1. Und da muss irgendwo mein Problem versteckt liegen.

Wenn man ein solches b_k findet, ja. Aber man muß ja nicht ein b_k finden, so daß . Es reicht völlig, wenn die Ungleichung gilt. smile
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

und den 2er kriegst du daher, weil du im großen Term k=1 setzt und sagst, dieses k kann nur größer oder gleich 1 sein oder?
Wenn du das jetzt mit ja beantwortest, hast du mein Pfingsten gerettet und ich kann heut Abend ins Bierzelt gehen smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fenderbender
und den 2er kriegst du daher, weil du im großen Term k=1 setzt und sagst, dieses k kann nur größer oder gleich 1 sein oder?

Nicht wirklich. Erstmal ist k immer größer oder gleich 1. Wenn du mit "großem Term" dieses hier meinst: , dann ist die Idee folgende: Man bildet davon den Grenzwert für k gegen unendlich und stellt fest, daß dieser 1 beträgt. Dann muß zwangsläufig irgendwann mal dauerhaft <= 2 sein.

Also nochmal drüber nachdenken und dann erst ins Bierzelt. Augenzwinkern
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von fenderbender
und den 2er kriegst du daher, weil du im großen Term k=1 setzt und sagst, dieses k kann nur größer oder gleich 1 sein oder?

Nicht wirklich. Erstmal ist k immer größer oder gleich 1. Wenn du mit "großem Term" dieses hier meinst: , dann ist die Idee folgende: Man bildet davon den Grenzwert für k gegen unendlich und stellt fest, daß dieser 1 beträgt. Dann muß zwangsläufig irgendwann mal dauerhaft <= 2 sein.

Also nochmal drüber nachdenken und dann erst ins Bierzelt. Augenzwinkern


ok, Denkfehler erkannt.
Ich wollte das quasi Maximum genau bestimmen von und dann sagen es wird immer kleiner als dieses Maximum.
Du sagst schlauerweise, das Maximum is egal, weil es auf jedenfall kleiner 2 ist (oder dürfte das kurzzeitig auf über 2 liegen??)

Darf ich jetzt ins Bierzelt?? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fenderbender
Du sagst schlauerweise, das Maximum is egal, weil es auf jedenfall kleiner 2 ist (oder dürfte das kurzzeitig auf über 2 liegen??)

Ja, es darf auch über 2 liegen. Für endlich viele k darf der darüber liegen.

Zitat:
Original von fenderbender
Darf ich jetzt ins Bierzelt?? smile

OK, genehmigt. Viel Spaß. Prost
fenderbender Auf diesen Beitrag antworten »

yipppiihhh!!

Danke für die super Unterstützung!!!
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