Inverse einer Matrix

08.05.2008, 20:46

RedSpice

Inverse einer Matrix

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein ganz dickes Problem: Nach einer vergeigten Klausur soll ich nun zu morgen eine Aufgabe vorbereiten, die ich an der Tafel erklären soll. Ich bin sonst echt nicht die Schlechteste in Mathe, aber mit Matrizen komme ich einfach nicht klar.

Bei dieser Aufgabe begreife ich schon den Anfang nicht:

In einer Volkswirtschaft gibt es 4 Industriezweige (A, B, C und D), deren gegenseitige Leistungsverflechtungen durch die folgende Input-Output-Tabelle gegeben sind:

..........A.....B.....C.....D.....Endnachfrage
__________________________________
A........6.....2.....4.....2.....6
B........2.....3.....1.....1.....1
C........6.....4.....4.....2.....4
D........1.....3.....1.....3.....2

(Sorry für die stümperhafte Darstellung, krieg das mit Latex nicht hin mit ner Tabelle)

a) Bestimme den gesamten Output für jeden Industriezweig.
b) Bestimme die Matrix A der relativen Input-Output-Koeffizienten.
c) Bestimme die Endnachfrage mittels des Ansatzes y = (E-A)x.

Mein Lehrer hat mir eine Beispiellösung für eine ähnliche Aufgabe mitgegeben, die ich aber nur im Ansatz verstehe. Übertragen auf diese Aufgabe würde es so aussehen:

Input-Output-Matrix
$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Endnachfrage
$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich auf den gesamten Output, denn den brauche ich doch, um dann die Matrix A zu berechnen, oder? Worin liegt eigentlich der Unterschied zwischen Matrix X und Matrix A? Warum brauch ich A und nicht X?
An Aufgabe c) denk ich lieber noch nicht, da dreht sich mir jetzt schon der Magen um. *grins*

Habt ihr nen brandheißen Tipp für mich? Das wäre echt genial, wenn ich mit der Aufgabe noch meine Mathenote fürs Abi retten kann. Gott

Ganz liebe Grüße,
Reddie

Edit: Gerade hab ich begriffen, wie ich auf den Gesamtoutput komme. Muss da ja alle in einer Zeile stehenden Elemente der Ausgangstabelle addieren. Also wäre das Gesamtoutput:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Inzwischen ist aus dem Rechenproblem auch eher ein Verständnis- bzw. Interpretationsproblem geworden. Ist ja toll, was ich alles ausrechnen kann, aber was um Himmels Willen bringen mir diese Zahlen?!

Edit2: Inzwischen bin ich mit a) und b) schon durch.

a)
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{4}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{6} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz bei c) sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} y= (E-A)*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ----> E-A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{4}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{6} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{2}{3} & -1 & -1 \\ -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ -1 & -\frac{4}{3} & 0 & -1 \\ -\frac{1}{6} & -1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \begin{pmatrix} 0 & -\frac{2}{3} & -1 & -1 \\ -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ -1 & -\frac{4}{3} & 0 & -1 \\ -\frac{1}{6} & -1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 22 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{116}{3} \\ -\frac{103}{6} \\ -\frac{130}{3} \\ -\frac{143}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun komme ich aber nicht weiter, da dies ja nicht wirklich wie der Vektor der Endnachfrage aussieht. Wo liegt denn mein Fehler? unglücklich

09.05.2008, 00:31

RedSpice

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*schnief*

Ich kriegs einfach nicht hin... unglücklich

09.05.2008, 01:07

tigerbine

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Zitat:

Gerade hab ich begriffen, wie ich auf den Gesamtoutput komme. Muss da ja alle in einer Zeile stehenden Elemente der Ausgangstabelle addieren.

korrekt.

Wie kommst du auf A?

09.05.2008, 01:10

RedSpice

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In der Beispiellösung habe ich es so verstanden, dass ich, um auf A zu kommen, bei X die erste Spalte durch die erste Zeile von y teilen muss, die zweite Spalte durch die zweite Zeile usw.

Habe aber grad bemerkt, dass mein Gesamtoutput falsch ist... Hba mich doch glatt verzählt... also statt 22 muss es 20 heißen.

09.05.2008, 01:22

tigerbine

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Sag mal stimmt dein X überhaupt? y ist doch die Endnachfrage. Und da passt doch was nicht. Auch bei x müßte ferner noch eine 8 stehen anstatt der 10.

09.05.2008, 01:27

tigerbine

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(?)

Zitat:

..........A.....B.....C.....D.....Endnachfrage
__________________________________
A........6.....2.....4.....2.....6
B........2.....3.....1.....1.....1
C........6.....4.....4.....2.....4
D........1.....3.....1.....3.....2

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix},~ y = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, ~x = \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.05.2008, 01:31

RedSpice

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Uaaah es ist mitten in der Nacht und ich mach Fehler ohne Ende - bei der Ursprungstabelle habe ich mich verschrieben. Es heißt richtig:

..........A.....B.....C.....D.....Endnachfrage
__________________________________
A........6.....2.....4.....2.....6
B........2.....3.....1.....1.....3
C........6.....4.....4.....2.....4
D........1.....3.....1.....3.....2

Zum großen X:
Das sollte eigentlich stimmen, da es in der Beispielaufgabe genauso aussieht.
Die Endnachfrage scheint hier nicht ganz klar benannt worden zu sein. Bei der sehr ähnlichen Beispielaufgabe steht: " In jeden Industriezweig werden eigene Produkte und Produkte aus den anderen Zweigen im Produktionsprozess eingesetzt. Alle Produkte, die nicht wieder für die Produktion verwendet werden, gehen an Endnachfrager bzw. Konsumenten."

Ich versteh das so, dass in erster Linie die Berdürfnisse in der Produktion getilgt werden und der Überschuss an Produkten an die Konsumenten geht. Somit sollten also die innerhalb der Industriezweige weitergegebenen Produkte und die Endnachfrage zusammen das Gesamtoutput ergeben. Oder?

09.05.2008, 01:40

tigerbine

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Okay... dann hätten wir:

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix},~ y = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, ~x = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin nun zu müde um mir ein Sachbeispiel auszudenken. Vielleicht mal (Link). Aber die Zeilen sagen pro Industriezweig, wo das Produzierte hingeht. Die Zeilensumme ist daher der jeweilige Gesamtoutput.

Nun ist ja wohl die Frage bei c), dass wenn wir das Produktionsverhalten kennen wir ausrechnen sollen, wieviel Güter bei einer gegebenen Gesamtprouktion auf dem Markt landen. D.h. wir ziehen vom Gesamten Ex=x die für die Produktion verbrauchten Güter Ax ab.

Was ich mich noch Frage, der Titel deiner Frage. Wo müssen wir denn invertieren?

EDIT: Ab Seite 13

09.05.2008, 01:50

RedSpice

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Der Titel meiner Frage... Ja wenn ich das wüsste. Vorhin war ich noch überzeugt, dass da was mit Invertierten Matrizen drin vorkommt. Big Laugh

Bei c) komme ich, wenn ich es so mache auf negative Werte.

$\begin{eqnarray*} y = Ex - Ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ex = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ax = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{4}{3} & 1 & 1 \\ \frac{1}{6} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \\ 50 \\ 40 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \\ 50 \\ 40 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.05.2008, 01:53

tigerbine

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Noch ein Fundstück, das sollte dir helfen : http://www.dreifinger.de/download/schule...tik/Mathe20.doc

Warum sich A so berechnet, weiß ich nicht, aber das mit der Division scheint richtig zu sein. Lies Du mal, ich rechne die Aufgabe hier. Wink

09.05.2008, 01:57

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix},~ y = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, ~x = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 6/20 & 2/10 & 4/20 & 2/10 \\ 2/20 & 3/10 & 1/20 & 1/10 \\ 6/20 & 4/10 & 4/20 & 2/20 \\ 1/20 & 3/10 & 1/20 & 3/10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y =x-Ax = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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